Enunciado

Em cada um dos problemas de 7 a 10 , siga o procedimento ilustrado no exemplo 4 para determinar as raízes indicadas do número complexo dado.

8. 1 - i 1 / 2

Passo 1

No exemplo 4 , estávamos interessados em encontrar as raízes da equação:

r 4 + 1 = 0

Onde r é um número complexo! Vimos que as raízes dele são dadas por:

r = - 1 1 4

E aí descobrimos que podemos encontrar qualquer raiz complexa como essa daí usando a notação de Euler para os números complexos onde podemos pegar qualquer número complexo na sua forma polar e transformar em uma exponencial complexa, veja:

A cos ⁡ x + i sin ⁡ x = A e i x  

Beleza! Mas no isso foi para o exemplo 4 , agora e se tivéssemos que descobrir as raízes complexas onde...

r = 1 - i 1 / 2

Passo 2

Primeiro, devemos transformar 1 - i em um número complexo da forma polar:

1 - i = A cos ⁡ x + i sin ⁡ x   →

Onde A é o módulo do número complexo:

A = 1 2 + - 1 2 = 2

Já...

x = arctan ⁡ 1 - 1 = - π 4

Afinal cos ⁡ - π 4 = 2 / 2 e sin ⁡ - π 4 = - 2 / 2 . De modo que...

1 - i = 2 cos ⁡ - π 4 + i sin ⁡ - π 4

Como qualquer múltiplo m de 2 π é também funciona...

1 - i = 2 cos ⁡ - π 4 + 2 m π + i sin ⁡ - π 4 + 2 m π →

Pela notação de Euler então...

1 - i = 2 e - π 4 + 2 m π i  

Passo 3

Beleza! Como queremos achar as raízes complexas de ( 1 - i ) 1 / 2 , então...

1 - i 1 / 2 = 2 e - π 4 + 2 m π i 1 2   →

1 - i 1 / 2 = 2 1 / 4 e - π 8 + m π i   →

Transformando para cosseno e seno então...

1 - i 1 / 2 = 2 1 / 4 cos ⁡ - π 8 + m π + i sin ⁡ - π 8 + m π    

Fazendo então m = 0 , m = 1 ...

  • Para o m = 0 :
  • 1 - i 1 / 2 = 2 1 / 4 cos ⁡ - π 8 + i sin ⁡ - π 8   =

    2 1 / 4 cos ⁡ - π 8 + i sin ⁡ - π 8

  • Para m = 1 ...

1 - i 1 / 2 = 2 1 / 4 cos ⁡ - π 8 + π + i sin ⁡ - π 8 + π    

Então essas são as raízes complexas tal que r = 1 - i 1 / 2 são...

2 1 / 4 cos ⁡ - π 8 + π + i sin ⁡ - π 8 + π             e           2 1 / 4 cos ⁡ - π 8 + m π + i sin ⁡ - π 8 + m π

Resposta

2 1 / 4 cos ⁡ - π 8 + π + i sin ⁡ - π 8 + π             e           2 1 / 4 cos ⁡ - π 8 + m π + i sin ⁡ - π 8 + m π

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