1 - d x d t = 3 - 2 2 - 2 x

Passo 1

Considere o sistema:

d x d t = 3 - 2 2 - 2 x … … .   ( 1 )

a)

Vamos assumir x = ξ e r t como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

d d t ξ e r t = 3 - 2 2 - 2 ξ e r t

r ξ e r t = 3 - 2 2 - 2 ξ e r t

= 3 - r - 2 2 - 2 - r ξ 1 ξ 2 = 0 0 … … ( 2 )

Passo 2

Os autovalores são as raízes da equação.

3 - r - 2 2 - 2 - r = 0

r 2 - r - 2 = 0

r + 1 r - 2 = 0

Portanto, os autovalores de 3 - 2 2 - 2 são r 1 = - 1 e r 2 = 2 .

Passo 3

Encontre o autovetor  3 - 2 2 - 2 correspondente ao autovalor r 1 = - 1 .

Substitua  r = - 1   na equação ( 2 ) ,

= 3 - ( - 1 ) - 2 2 - 2 - ( - 1 ) ξ 1 ξ 2 = 0 0

= 4 - 2 2 - 1 ξ 1 ξ 2 = 0 0

Cada linha gera a condição:

2 ξ 1 = ξ 2

O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = - 1 é: ξ 1 = 1 2

Passo 4

Encontre o autovetor  3 - 2 2 - 2 correspondente ao autovalor r 2 = 2 .

Substitua  r = 2   na equação ( 2 ) ,

= 3 - ( 2 ) - 2 2 - 2 - ( 2 ) ξ 1 ξ 2 = 0 0

= 1 - 2 2 - 4 ξ 1 ξ 2 = 0 0

Cada linha gera a condição:

ξ 1 = 2 ξ 2

O autovetor ξ 2 correspondente ao autovalor r 2 = 2 é: ξ 2 = 2 1

Passo 5

b) O objetivo é classificar o ponto crítico  ( 0,0 ) quanto ao tipo e determinar se ele é estável, assintoticamente estável ou instável.

Os autovalores são reais e de sinais opostos.

Portanto, o ponto crítico  ( 0,0 ) é um ponto de sela.

Como os pontos de sela são sempre instáveis, o ponto crítico é um ponto de sela instável.

Passo 6

c)

A solução do sistema ( 1 ) é:

x = c 1 1 2 e - t + c 2 2 1 e 2 t

x = c 1 e - t 2 c 2 e 2 t 2 c 1 e - t c 2 e 2 t

então  x 1 t = c 1 e - t + 2 c 2 e 2 t e x 2 t = 2 c 1 e - t + c 2 e 2 t .

Esboce as trajetórias no plano de fase.

Passo 7

Observe a solução  x 1 t = c 1 e - t + 2 c 2 e 2 t para diferentes valores de c 1 e c 2 .

Para  c 1 = 1 , c 2 = 0 ,

x 1 t = e - t

Para  c 1 = 0 , c 2 = 1 ,

x 1 t = 2 e 2 t

Para  c 1 = 1 , c 2 = - 1 ,

x 1 t = 2 e 2 t

Para  c 1 = 1 , c 2 = - 1 ,

x 1 t = e - t + 2 e 2 t

Esboce toda a solução no plano x , t :

Resposta

  1. Os autovalores de 3 - 2 2 - 2 são r 1 = - 1 e r 2 = 2 .
  2. O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = - 1 é: ξ 1 = 1 2

  3. O ponto crítico  ( 0,0 ) é um ponto de sela e instável.
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