Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6, um sistema autônomo está expresso em coordenadas polares. Determine todas as soluções periódicas, todos os ciclos limites e suas características de estabilidade.

d r d t = r ( r - 1 ) ( r - 3 ) ,     d θ d t = 1

Passo 1

Beleza! Vamos começar encontrando os pontos críticos da equação dada, então, temos:

d r d t = r ( r - 1 ) ( r - 3 ) = 0

Daqui temos três possibilidades:

r = 0

( r - 1 ) = 0 → r = 1

r - 3 = 0 → r = 3

Então, temos 3 pontos críticos, são eles:

r 1 = 0 ; r 2 = 1 ;   r 3 = 3

Passo 2

Então, teremos:

0 < r < 1 → d r d t > 0

1 < r < 3 → d r d t < 0

r > 3 → d r d t > 0

Dessa forma, temos que r = 0 corresponde a um ponto crítico instável. Já no ponto r = 1 temos um ponto assintoticamente estável e r = 3 é um ponto instável.

Passo 3

E, os ciclos limites por sua vez são dados por:

r = 1 ; d θ d t = 1

r = 3 ; d θ d t = 1

Então, teremos:

r = 1 ;   d θ d t = 1 → θ = t + t 0

Que é assintoticamente estável. E para r = 3 temos:

r = 3 ;   d θ d t = 1 → θ = t + t 0

Que é instável.

Resposta

r 1 = 0   i n s t á v e l

r 2 = 1   ( a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l )

r 3 = 3   ( i n s t á v e l )

r = 1 ;   θ = t + t 0   ( a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l )

r = 3 ; θ = t + t 0   i n s t á v e l

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