3 - dx/dt = -y, dy/dt = x; x(0) = 4, y(0) = 0 e x(0) = 0, y(0) = 4.

Passo 1

As equações dadas são:

d x d t = - y   e   d y d t = x

Considere d y d x = - x y … . .   ( 1 )

Esta equação é separável com:

y d y = - x d x

Integrando ambos os lados,

y 2 2 = - x 2 2 + c 1

Ou,

x 2 + y 2 = c 1

Das condições iniciais fornecidas.

x 0 = 4 , y 0 = 0

Então, c 1 = 16

Portanto, a solução da equação (1) é  x 2 + y 2 = 16 .

Passo 2

Novamente do segundo conjunto de condições

x 0 = 0 , y 0 = 4

Temos c = 16

Portanto, a solução da equação (1) é  x 2 + y 2 = 16 .

Agora, o sistema de equações fornecido também pode ser escrito como:

x ' y ' = 0 - 1 1 0 x y

Vamos tomar como x y = X .

Então nós temos  X ' = 0 - 1 1 0 X … . .   ( 2 )

Passo 3

Tomemos X = ξ e r t .

Então obtemos o sistema algébrico.

- r - 1 1 - r ξ 1 ξ 2 = 0 0 … … ( 3 )

Os autovalores são as raízes da equação.

- r - 1 1 - r = 0

r 2 + 1 = 0

Então os autovalores são  r 1 , r 2 = ± i .

Passo 4

Agora  r = r 1 = i , a equação ( 3 ) fornece:

- i - 1 1 - i ξ 1 ξ 2 = 0 0

Cada linha gera  ξ 1 = i ξ 2 .

Então o autovetor correspondente é  ξ 1 = i 1 .

Passo 5

Da mesma forma, o autovetor correspondente a  r = r 2 = - i é ξ 2 = - i 1 .

Em seguida, duas soluções linearmente independentes são:

x 1 t = i 1 e i t e x 2 t = i 1 e - i t

Passo 6

Para encontrar uma solução com valor real, vamos assumir que x 1 t = i 1 e i t seja

= i 1 ( cos ⁡ t + i s e n   t )

= - sen ⁡ t cos ⁡ t + i cos ⁡ t sen ⁡ t

Vamos substituir u t = - sen ⁡ t cos ⁡ t e v t = cos ⁡ t sen ⁡ t .

Agora  W u , v t = - 1 , segue-se que  u  e  v  são linearmente independentes e constituem um conjunto fundamental de soluções com valor real.

Então, X = c 1 - sen ⁡ t cos ⁡ t + c 2 cos ⁡ t sen ⁡ t

Ou,

x y = c 1 - sen ⁡ t cos ⁡ t + c 2 cos ⁡ t sen ⁡ t

Passo 7

Usando condições iniciais,

x 0 = 4 , y 0 = 0

Nós achamos, c 1 = 0 e c 2 = 4 .

Consequentemente x y = 4 cos ⁡ t 4 sen ⁡ t

Logo, x = 4 cos ⁡ t e y = 4 sen ⁡ t .

Passo 8

Agora, usando o segundo conjunto de condições iniciais,

x 0 = 0 ,   y 0 = 4

Nós achamos  c 1 = 4 e c 2 = 0 .

Então, x y = - 4 sen ⁡ t 4 cos ⁡ t

Logo, y = 4 cos ⁡ t e x = - 4 sen ⁡ t .

Portanto, os dois conjuntos de soluções são:

x = 4 cos ⁡ t ,   y = 4 sen ⁡ t ,   x 2 + y 2 = 16

x = - 4 sen ⁡ t ,   y = 4 cos ⁡ t ,   x 2 + y 2 = 16

Passo 9

Agora, as trajetórias deste sistema são:

Para determinar a direção do movimento ao longo das trajetórias, vemos que, para condições iniciais positivas, x diminuirá onde y aumentará.

Resposta

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