Enunciado

4 - (d x)/(d t) = ([[1,-,4],[4,-,7]]) x

Passo 1

Considere o sistema:

(d x)/(d t) = ([[1,-,4],[4,-,7]]) x ... ... . ( 1 )

a)

Vamos assumir x = xi e^(r t) como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

(d)/(d t) (xi e^(r t)) = ([[1,-,4],[4,-,7]]) (xi e^(r t))

r xi e^(r t) = ([[1,-,4],[4,-,7]]) (xi e^(r t))

= ([[1,-,r,-,4],[4,-,7,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]]) ... ... ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

|[[1,-,r,-,4],[4,-,7,-,r]]| = 0

(1 - r) (- 7 - r) + 16 = 0

r^2 + 6 r + 9 = 0

( r + 3 ) ( r + 3 ) = 0

Portanto, os autovalores são r_1 = - 3 e r_2 = - 3 .

Passo 3

Quando r = r_1 = - 3 , a equação ( 2 ) fornece,

= ([[1,-,(,-,3,),-,4],[4,-,7,-,(,-,4,)]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

= ([[4,-,4],[4,-,4]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera a condição:

xi_1 = xi_2

O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = - 3 é: xi^1 = ([[1],[1]])

Passo 4

Para encontrar a segunda solução linearmente independente para o sistema (1), resolva o sistema (A - r I) n = xi^1

([[4,-,4],[4,-,4]]) ([[n_1],[n_2]]) = ([[1],[1]])

Cada linha gera a seguinte equação:

4 n_1 - 4 n_2 = 1

4 n_1 = 1 + 4 n_2

n_1 = (1)/(4) + n_2

Vamos definir n_2 = k , ou seja, uma constante arbitrária.

n_1 = (1)/(4) + k

Assim, o segundo autovetor correspondente ao autovalor r = r_2 = - 3 é:

n = ([[k,+,(1)/(4)],[k]])

n = ([[(1)/(4)],[0]]) + k ([[1],[1]])

Passo 5

Temos que:

x^2 = xi t e^(- 3 t) + n e^(- 3 t)

Substitua n = ([[(1)/(4)],[0]]) + k ([[1],[1]]) e xi^1 = ([[1],[1]]) na equação acima:

x^2 = ([[1],[1]]) t e^(- 3 t) + ([[(1)/(4)],[0]]) e^(- 3 t) + k ([[1],[1]]) e^(- 3 t)

O último termo é um múltiplo de  x^1 ( t ) e, portanto, pode ser descartado.

Então, a segunda solução do sistema é:

x^2 = ([[1],[1]]) t e^(- 3 t) + ([[(1)/(4)],[0]]) e^(- 3 t)

Passo 6

b)

Assim, a solução geral do sistema (1) é,

x (t) = c_1 ([[1],[1]]) t e^(- 3 t) + c_2 [([[1],[1]]) t e^(- 3 t) + ([[(1)/(4)],[0]]) e^(- 3 t)] ... ... ( 3 )

Onde c_1 e c_2 são constantes arbitrárias.

Para valores muito altos de t , o termo x = c_2 ([[1],[1]]) t e^(- 3 t) é dominante, por conta do t que está multiplicando. Se observamos bem, quando t -> oo toda trajetória se aproxima da origem. Da mesma forma para grandes valores negativos de t o mesmo termo continua sendo dominante, de mo que t -> - oo . Cada trajetória é assíntota a uma linha paralela a xi = ([[1],[1]]) . Portanto, o ponto crítico ( 0,0 ) é um nó assintoticamente estável.

Passo 7

c)

A solução do sistema ( 1 ) é:

x (t) = c_1 ([[1],[1]]) t e^(- 3 t) + c_2 [([[1],[1]]) t e^(- 3 t) + ([[(1)/(4)],[0]]) e^(- 3 t)]

x (t) = ([[c_1,e^(- 3 t),+,c_2,t,e^(- 3 t),+,(c_2)/(4),e^(- 3 t)],[2,c_1,e^(- t),+,c_2,t,e^(- 3 t)]])

x (t) = ([[(c_1 + (c_2)/(4)),e^(- 3 t),+,c_2,e^(- 3 t)],[2,c_1,e^(- t),+,c_2,t,e^(- 3 t)]])

Portanto, as soluções são:

x_1 (t) = (c_1 + (c_2)/(4)) e^(- 3 t) + c_2 t e^(- 3 t) e x_2 (t) = 2 c_1 e^(- t) + c_2 t e^(- 3 t)

Agora, o esboço das trajetórias é mostrado abaixo:

Passo 8

Observe a solução x_1 (t) = (c_1 + (c_2)/(4)) e^(- 3 t) + c_2 t e^(- 3 t) que possui diferentes valores para c_1 e c_2 :

Para  c_1 = - 1 , c_2 = - 1 ,

x_1 (t) = - (5)/(4) e^(- 3 t) - t e^(- 3 t)

Para  c_1 = - 1 , c_2 = 1 ,

x_1 (t) = - (3)/(4) e^(- 3 t) + t e^(- 3 t)

Para  c_1 = 1 , c_2 = - 1 ,

x_1 (t) = (3)/(4) e^(- 3 t) - t e^(- 3 t)

Para  c_1 = 1 , c_2 = 1 ,

x_1 (t) = (5)/(4) e^(- 3 t) + t e^(- 3 t)

Agora vamos esboçar todas essas soluções no plano x , t .

Passo 9

d) Os comandos serão colocados abaixo. Use um software e reproduza para conferir os resultados.

Resposta

  1. Os autovalores são r_1 = - 3 e r_2 = - 3 .
  2. O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = - 3 é: xi^1 = ([[1],[1]])

    O autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_2 = - 3 é: xi^2 = n = ([[k,+,(1)/(4)],[k]])

  3. O ponto crítico  ( 0,0 ) é um nó e estável.

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