3 - d x d t = 2 - 1 3 - 2 x

Passo 1

Considere o sistema:

d x d t = 2 - 1 3 - 2 x … … .   ( 1 )

a)

Vamos assumir x = ξ e r t como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

d d t ξ e r t = 2 - 1 3 - 2 ξ e r t

r ξ e r t = 2 - 1 3 - 2 ξ e r t

= 2 - r - 1 3 - 2 - r ξ 1 ξ 2 = 0 0 … … ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

2 - r - 1 3 - 2 - r = 0

2 - r - 2 - r + 3 = 0

- 4 + 2 r - 2 r + r 2 + 3 = 0

r 2 - 1 = 0

Portanto, os autovalores são r 1 = - 1 e r 2 = 1 .

Passo 3

Quando r = r 1 = - 1 , a equação ( 2 ) fornece,

= 2 - ( - 1 ) - 1 3 - 2 - ( - 1 ) ξ 1 ξ 2 = 0 0

= 3 - 1 3 - 1 ξ 1 ξ 2 = 0 0

Cada linha gera a condição:

3 ξ 1 = ξ 2

O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = 2 é: ξ 1 = 1 3

Passo 4

Encontre o autovetor correspondente ao autovalor r = r 2 = 1 .

Substitua  r = 1   na equação ( 2 ) ,

= 2 - ( 1 ) - 1 3 - 2 - ( 1 ) ξ 1 ξ 2 = 0 0

= 1 - 1 3 - 3 ξ 1 ξ 2 = 0 0

Cada linha gera a condição:

ξ 1 = ξ 2

O autovetor ξ 2 correspondente ao autovalor r 2 = 1 é: ξ 2 = 1 1

Passo 5

b) O objetivo é classificar o ponto crítico  ( 0,0 ) quanto ao tipo e determinar se ele é estável, assintoticamente estável ou instável.

Os autovalores são reais e de sinais opostos.

Portanto, o ponto crítico  ( 0,0 ) é um ponto de sela.

Como os pontos de sela são sempre instáveis, o ponto crítico é um ponto de sela instável.

Passo 6

c)

O objetivo é esboçar várias trajetórias no plano de fase e também esboçar alguns gráficos típicos de  x 1   por t .

E algumas trajetórias terão alguns valores de constantes  c 1 , c 2 .

Agora, o esboço das trajetórias é mostrado abaixo:

Passo 7

d) O objetivo é usar um computador para plotar com precisão as curvas solicitadas na parte (c).

Digite pplane8 na janela de comando do MATLAB; insira as equações e pressione o botão ENTER para obter os seguintes gráficos:

Alguns gráficos típicos de  x 1 , x 2 versus  t para várias condições iniciais são desenhados abaixo:

Para  x 1 0 = - 1 , x 2 0 = 0 :

Gráfico de x 1 , x 2 versus t para x 1 0 = - 2 , x 2 0 = 0 :

Gráfico de x 1 , x 2 versus t para x 1 0 = 2 , x 2 0 = 0 :

Resposta

  1. Os autovalores são r 1 = - 1 e r 2 = 1 .
  2. O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = - 1 é: ξ 1 = 1 3

    O autovetor ξ 2 correspondente ao autovalor r 2 = 1 é: ξ 2 = 1 1

  3. O ponto crítico  ( 0,0 ) é um nó e instável.
  4. Para  x 1 0 = - 1 , x 2 0 = 0 :

Gráfico de x 1 , x 2 versus t para x 1 0 = - 2 , x 2 0 = 0 :

Gráfico de x 1 , x 2 versus t para x 1 0 = 2 , x 2 0 = 0 :

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