Enunciado

6 - (d x)/(d t) = ([[2,-,5],[1,-,2]]) x

Passo 1

Considere o sistema:

(d x)/(d t) = ([[2,-,5],[1,-,2]]) x ... ... . ( 1 )

a)

Vamos assumir x = xi e^(r t) como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

(d)/(d t) (xi e^(r t)) = ([[2,-,5],[1,-,2]]) (xi e^(r t))

r xi e^(r t) = ([[2,-,5],[1,-,2]]) (xi e^(r t))

= ([[2,-,r,-,5],[1,-,2,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]]) ... ... ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

|[[2,-,r,-,5],[1,-,2,-,r]]| = 0

- (2 - r) (2 + r) + 5 = 0

- (4 - r^2) + 5 = 0

- 4 + r^2 + 5 = 0

r^2 + 1 = 0

Portanto, os autovalores são r_1 = i e r_2 = - i .

Passo 3

Quando r = r_1 = i , a equação ( 2 ) fornece,

= ([[2,-,i,-,5],[1,-,2,-,i]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera a condição:

( 2 - i ) xi_1 = 5 xi_2

xi_1 = ( 2 + i ) xi_2

O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = + i é: xi^1 = ([[2,+,i],[1]])

Passo 4

Encontre o autovetor correspondente ao autovalor r = r_2 = - i .

Substitua  r = - 1 - i na equação ( 2 ) ,

= ([[1,+,i,),-,5],[1,-,2,+,i,)]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

= ([[1,+,i,-,5],[1,-,2,+,i]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera a condição:

xi_1 = xi_2

O autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_2 = - i é: xi^2 = ([[2,-,i],[1]])

Portanto, a solução geral é,

x = c_1 ([[2,+,i],[1]]) e^(i t) + c_2 ([[2,-,i],[1]]) e^(- i t)

Onde  c_1 c_2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

b) O objetivo é classificar o ponto crítico  ( 0,0 ) quanto ao tipo e determinar se ele é estável, assintoticamente estável ou instável.

Os autovalores  r_1 , r_2 = +- i são números complexos.

Portanto, o ponto crítico  ( 0,0 ) é um ponto espiral.

Como a parte real é zero e os autovalores são puramente imaginários, o ponto crítico é o centro. Nesse caso, como a parte real dos autovalores é zero. As trajetórias não se aproximam  ( 0,0 ) ou são ilimitadas, mas atravessam repetidamente uma curva fechada sobre a origem e são estáveis.

Portanto, o ponto crítico é um centro estável.

Passo 6

c) Várias trajetórias no plano de fase são mostradas abaixo.

E algumas trajetórias terão alguns valores de constantes  c_1 , c_2 .

Agora, o esboço das trajetórias é mostrado abaixo:

Passo 7

d) O objetivo é usar um computador para plotar com precisão as curvas solicitadas na parte (c).

Digite pplane8 na janela de comando do MATLAB; insira as equações e pressione o botão ENTER para obter os seguintes gráficos:

Resposta

  1. Os autovalores são r_1 = + i e r_2 = - i .
  2. O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = + i é: xi^1 = ([[2,+,i],[1]])

    O autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_2 = - i é: xi^2 = ([[2,-,i],[1]])

  3. O ponto crítico é um centro estável.
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1 - x ' = x + y + t ,y ' = 4 x– 2 y ; x ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = 0
6 - x ' = exp ⁡ ( - x + y ) - cos ⁡ x ,y ' = sen ⁡ ( x - 3 y ); x ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = 2
3 - Considere novamente o problema de valor inicial (16) do Exemplo 2. Investigue o quão pequeno tem que ser o tamanho do passo h para garantir que o erro em t=0,05 e em t = 0,1 seja menor do que 0,00
1 - Para obter alguma ideia dos perigos possíveis de pequenos erros nas condições iniciais, taiscomo aqueles decorrentes de arredondamentos, considere o problema de valor inicial y ' = t + y -3 , y 0
2 - Considere o problema de valor inicial y ' = t 2 + e y , y 0 = 0 .Usando o método de Runge-Kutta com tamanho de passo h, obtemos os resultados na Tabela8.6.5. Esses resultados sugerem que a solução