16 – d x d t = 0 - β δ 0 x + α - γ

Passo 1

Considere o sistema:

d x d t = 0 - β δ 0 x + α - γ … … .   ( 1 )

O objetivo é determinar o ponto crítico, classificar seu tipo e examinar a estabilidade, fazendo a transformação  x = x 0 + u

Passo 2

O ponto crítico x 0 é tal que d x d t x = x 0 = 0

0 - β δ 0 x + α - γ = 0

0 - β δ 0 x 0 = - α - γ

0 - β δ 0 - 1 0 - β δ 0 x 0 = - 0 - β δ 0 - 1 α - γ

I x 0 = 0 - β δ 0 - 1 - α γ

x 0 = 1 β δ 0 - β δ 0 - α γ

x 0 y 0 = 1 β δ β δ α δ

= γ / δ α / β

Portanto, o ponto crítico é x 0 , y 0 = ( γ / δ , α / β ) .

Passo 3

Deixei  x = x 0 + u

Então  d x d t = d u d t desde que d x 0 d t = 0

Então a equação ( 1 ) se torna,

d u d t = 0 - β δ 0 - α γ + 0 - β δ 0 u + - α γ

= - α γ + 0 - β δ 0 u + - α γ

= - α - γ + 0 - β δ 0 u + - α γ

= 0 - β δ 0 u … … .   ( 2 )

Passo 4

Tenhamos u = ξ e r t .

Em seguida, obtenha o sistema algébrico levando isso consideração.

- r - β δ - r ξ 1 ξ 2 = 0 0

Vamos agora encontrar os autovalores, que são as raízes da equação.

- r - β δ - r = 0

r 2 + β δ = 0

r 1 , 2 = ± β δ i

Então os autovalores são r 1,2 = ± β δ i .

Como os valores próprios são puramente imaginários, vemos que o ponto crítico é um centro estável.

Resposta

O ponto crítico é x 0 , y 0 = ( γ / δ , α / β ) .

Como os valores próprios são puramente imaginários, vemos que o ponto crítico é um centro estável.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados