Enunciado

16 – (d x)/(d t) = ([[0,-,beta],[delta,0]]) x + ([[alpha],[-,gamma]])

Passo 1

Considere o sistema:

(d x)/(d t) = ([[0,-,beta],[delta,0]]) x + ([[alpha],[-,gamma]]) ... ... . ( 1 )

O objetivo é determinar o ponto crítico, classificar seu tipo e examinar a estabilidade, fazendo a transformação  x = x^0 + u

Passo 2

O ponto crítico x^0 é tal que ((d x)/(d t))_x = x^0 = 0

([[0,-,beta],[delta,0]]) x + ([[alpha],[-,gamma]]) = 0

([[0,-,beta],[delta,0]]) x^0 = - ([[alpha],[-,gamma]])

([[0,-,beta],[delta,0]])^(- 1) ([[0,-,beta],[delta,0]]) x^0 = - ([[0,-,beta],[delta,0]])^(- 1) ([[alpha],[-,gamma]])

I x^0 = ([[0,-,beta],[delta,0]])^(- 1) ([[-,alpha],[gamma]])

x^0 = (1)/(beta delta) ([[0,-,beta],[delta,0]]) ([[-,alpha],[gamma]])

([[x_0],[y_0]]) = (1)/(beta delta) ([[beta,delta],[alpha,delta]])

= ([[gamma,//,delta],[alpha,//,beta]])

Portanto, o ponto crítico é (x_0 , y_0) = ( gamma // delta , alpha // beta ) .

Passo 3

Deixei  x = x^0 + u

Então  (d x)/(d t) = (d u)/(d t) desde que (d x^0)/(d t) = 0

Então a equação ( 1 ) se torna,

(d u)/(d t) = ([[0,-,beta],[delta,0]]) ([[-,alpha],[gamma]]) + ([[0,-,beta],[delta,0]]) u + ([[-,alpha],[gamma]])

= ([[-,alpha],[gamma]]) + ([[0,-,beta],[delta,0]]) u + ([[-,alpha],[gamma]])

= - ([[alpha],[-,gamma]]) + ([[0,-,beta],[delta,0]]) u + ([[-,alpha],[gamma]])

= ([[0,-,beta],[delta,0]]) u ... ... . ( 2 )

Passo 4

Tenhamos u = xi e^(r t) .

Em seguida, obtenha o sistema algébrico levando isso consideração.

([[-,r,-,beta],[delta,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Vamos agora encontrar os autovalores, que são as raízes da equação.

|[[-,r,-,beta],[delta,-,r]]| = 0

r^2 + beta delta = 0

r_1 , 2 = +- sqrt(beta delta i)

Então os autovalores são r_1,2 = +- sqrt(beta delta i) .

Como os valores próprios são puramente imaginários, vemos que o ponto crítico é um centro estável.

Resposta

O ponto crítico é (x_0 , y_0) = ( gamma // delta , alpha // beta ) .

Como os valores próprios são puramente imaginários, vemos que o ponto crítico é um centro estável.

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