7 - d x d t = 3 - 2 4 - 1 x

Passo 1

Considere o sistema:

d x d t = 3 - 2 4 - 1 x … … .   ( 1 )

a)

Vamos assumir x = ξ e r t como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

d d t ξ e r t = 3 - 2 4 - 1 ξ e r t

r ξ e r t = 3 - 2 4 - 1 ξ e r t

= 3 - r - 2 4 - 1 - r ξ 1 ξ 2 = 0 0 … … ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

3 - r - 2 4 - 1 - r = 0

3 - r - 1 - r + 8 = 0

r = 1 ∓ 2 i

Portanto, os autovalores são r 1 = 1 - 2 i e r 2 = 1 + 2 i .

Passo 3

Quando r = r 1 = - 1 - 2 i , a equação ( 2 ) fornece,

= 3 - ( 1 - 2 i ) - 2 4 - 1 ( 1 - 2 i ) ξ 1 ξ 2 = 0 0

= 2 + 2 i - 2 4 - 2 - 2 i ξ 1 ξ 2 = 0 0

Cada linha gera a condição:

ξ 2 = ( 1 + i ) ξ 1

O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = 1 - 2 i é: ξ 1 = 1 1 + i .

Passo 4

Como os valores próprios são números complexos, os autovetores correspondentes são conjugados complexos. Assim, o autovetor ξ 2 correspondente ao autovalor r 1 = 1 + 2 i é: ξ 2 = 1 1 - i .

Passo 5

b) O objetivo é classificar o ponto crítico  ( 0,0 ) quanto ao tipo e determinar se ele é estável, assintoticamente estável ou instável.

Os autovalores são números complexos e de sinais opostos. Portanto, o ponto crítico  ( 0,0 ) é um espiral. Como não há uma parte real, deve ser assintoticamente instável.

Além disso, todas as soluções se afastam de  ( 0,0 ) a medida que  t  aumenta.

Assim, o ponto crítico é um ponto espiral instável.

Passo 6

c) As soluções do sistema são:

x ( 1 ) t = ξ 1 e ( 1 - 2 i ) t e x ( 2 ) = ξ 2 e ( 1 + ' 2 i ) t

Simplifique a solução x 1 ( t ) usando e i θ = c o s θ + i s e n θ  

x 1 ( t ) = 1 1 + i e 1 - 2 i t

= e ' 1 1 + i ( c o s 2 t - i s e n 2 t )

= e ' c o s 2 t - i s e n 2 t cos ⁡ 2 t - i s e n   2 t + i ( c o s 2 t - i s e n 2 t )

= e ' cos ⁡ 2 t e ' cos ⁡ 2 t + e ' sen ⁡ 2 t + i - e t s e n 2 t e ' cos ⁡ 2 t - e ' s e n   2 t

Os valores reais das soluções do sistema são,

u t = e ' cos ⁡ 2 t e ' cos ⁡ 2 t + e ' sen ⁡ 2 t ,   v t = e t s e n 2 t - e ' cos ⁡ 2 t - e ' s e n   2 t

Assim, a solução geral do sistema (1) é,

x t = c 1 e ' cos ⁡ 2 t e ' cos ⁡ 2 t + e ' sen ⁡ 2 t + c 2 e t s e n 2 t - e ' cos ⁡ 2 t - e ' s e n   2 t

Portanto,

x 1 t = c 1 e t cos ⁡ 2 t + c 2 e t s e n 2 t

x 2 t = c 1 e t cos ⁡ 2 t + e t sen ⁡ 2 t + c 2 ( - e t cos ⁡ 2 t + e t sen ⁡ 2 t )

Assim o esboço do gráfico de algumas trajetórias do sistema no plano de fase é.

Passo 7

Observe a solução x 1 t = c 1 e - t + 2 c 2 e 2 t que possui diferentes valores para c 1 e c 2 :

Para  c 1 = 1 , c 2 = 0 ,

x 1 t = e t cos ⁡ 2 t

Para  c 1 = 0 , c 2 = 1 ,

x 1 t = e t sen ⁡ 2 t

Para  c 1 = 1 , c 2 = - 1 ,

x 1 t = e t cos ⁡ 2 t - e t sen ⁡ 2 t

Para  c 1 = 1 , c 2 = 1 ,

x 1 t = e t cos ⁡ 2 t + e t sen ⁡ 2 t

Agora vamos esboçar todas essas soluções no plano x , t .

Passo 8

d) O objetivo é usar um computador para plotar com precisão as curvas solicitadas na parte (c). Portanto, com a ajuda de um software, use os comandos fornecidos para conferir os resultados.

Resposta

  1. Os autovalores são r 1 = - 1 + i e r 2 = - 1 - i .
  2. O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = - 1 + i é: ξ 1 = 2 + i 1

    O autovetor ξ 2 correspondente ao autovalor r 2 = - 1 - i é: ξ 2 = 2 - i 1

  3. O ponto crítico é um ponto espiral instável.

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