Enunciado

7 - (d x)/(d t) = ([[3,-,2],[4,-,1]]) x

Passo 1

Considere o sistema:

(d x)/(d t) = ([[3,-,2],[4,-,1]]) x ... ... . ( 1 )

a)

Vamos assumir x = xi e^(r t) como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

(d)/(d t) (xi e^(r t)) = ([[3,-,2],[4,-,1]]) (xi e^(r t))

r xi e^(r t) = ([[3,-,2],[4,-,1]]) (xi e^(r t))

= ([[3,-,r,-,2],[4,-,1,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]]) ... ... ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

|[[3,-,r,-,2],[4,-,1,-,r]]| = 0

(3 - r) (- 1 - r) + 8 = 0

r = 1 ∓ 2 i

Portanto, os autovalores são r_1 = 1 - 2 i e r_2 = 1 + 2 i .

Passo 3

Quando r = r_1 = - 1 - 2 i , a equação ( 2 ) fornece,

= ([[3,-,(,1,-,2,i,),-,2],[4,-,1,(,1,-,2,i,)]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

= ([[2,+,2,i,-,2],[4,-,2,-,2,i]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera a condição:

xi_2 = ( 1 + i ) xi_1

O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = 1 - 2 i é: xi^1 = ([[1],[1,+,i]]) .

Passo 4

Como os valores próprios são números complexos, os autovetores correspondentes são conjugados complexos. Assim, o autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_1 = 1 + 2 i é: xi^2 = ([[1],[1,-,i]]) .

Passo 5

b) O objetivo é classificar o ponto crítico  ( 0,0 ) quanto ao tipo e determinar se ele é estável, assintoticamente estável ou instável.

Os autovalores são números complexos e de sinais opostos. Portanto, o ponto crítico  ( 0,0 ) é um espiral. Como não há uma parte real, deve ser assintoticamente instável.

Além disso, todas as soluções se afastam de  ( 0,0 ) a medida que  t  aumenta.

Assim, o ponto crítico é um ponto espiral instável.

Passo 6

c) As soluções do sistema são:

x^(( 1 )) (t) = xi^1 e^(( 1 - 2 i ) t) e x^(( 2 )) = xi^2 e^(( 1 + ' 2 i ) t)

Simplifique a solução x^((1)) ( t ) usando e^(i theta) = c o s theta + i s e n theta

x^((1)) ( t ) = ([[1],[1,+,i]]) e^((1 - 2 i) t)

= e ' ([[1],[1,+,i]]) ( c o s 2 t - i s e n 2 t )

= e^' ([[c,o,s,2,t,-,i,s,e,n,2,t],[cos 2 t,-,i,s,e,n,,2,t,+,i,(,c,o,s,2,t,-,i,s,e,n,2,t,)]])

= ([[e^',cos 2 t],[e^',cos 2 t,+,e^',sen 2 t]]) + i ([[-,e^t,s,e,n,2,t],[e,',cos 2 t,-,e,',s,e,n,,2,t]])

Os valores reais das soluções do sistema são,

u (t) = ([[e^',cos 2 t],[e^',cos 2 t,+,e^',sen 2 t]]) , v (t) = ([[e^t,s,e,n,2,t],[-,e,',cos 2 t,-,e,',s,e,n,,2,t]])

Assim, a solução geral do sistema (1) é,

x (t) = c_1 ([[e^',cos 2 t],[e^',cos 2 t,+,e^',sen 2 t]]) + c_2 ([[e^t,s,e,n,2,t],[-,e,',cos 2 t,-,e,',s,e,n,,2,t]])

Portanto,

x_1 (t) = c_1 e^t cos 2 t + c_2 e^t s e n 2 t

x_2 (t) = c_1 (e^t cos 2 t + e^t sen 2 t) + c_2 ( - e^t cos 2 t + e^t sen 2 t )

Assim o esboço do gráfico de algumas trajetórias do sistema no plano de fase é.

Passo 7

Observe a solução x_1 (t) = c_1 e^(- t) + 2 c_2 e^(2 t) que possui diferentes valores para c_1 e c_2 :

Para  c_1 = 1 , c_2 = 0 ,

x_1 (t) = e^t cos 2 t

Para  c_1 = 0 , c_2 = 1 ,

x_1 (t) = e^t sen 2 t

Para  c_1 = 1 , c_2 = - 1 ,

x_1 (t) = e^t cos 2 t - e^t sen 2 t

Para  c_1 = 1 , c_2 = 1 ,

x_1 (t) = e^t cos 2 t + e^t sen 2 t

Agora vamos esboçar todas essas soluções no plano x , t .

Passo 8

d) O objetivo é usar um computador para plotar com precisão as curvas solicitadas na parte (c). Portanto, com a ajuda de um software, use os comandos fornecidos para conferir os resultados.

Resposta

  1. Os autovalores são r_1 = - 1 + i e r_2 = - 1 - i .
  2. O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = - 1 + i é: xi^1 = ([[2,+,i],[1]])

    O autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_2 = - 1 - i é: xi^2 = ([[2,-,i],[1]])

  3. O ponto crítico é um ponto espiral instável.

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