13 – d x d t = 1 1 1 - 1 x - 2 0

Passo 1

Considere o sistema:

d x d t = 1 1 1 - 1 x - 2 0 … … .   ( 1 )

O objetivo é determinar o ponto crítico, classificar seu tipo e examinar a estabilidade, fazendo a transformação  x = x 0 + u

Passo 2

O ponto crítico x 0 é tal que d x d t x = x 0 = 0

1 1 1 - 1 x - 2 0 = 0

1 1 1 - 1 x 0 = 2 0

1 1 1 - 1 - 1 1 1 1 - 1 x 0 = 1 1 1 - 1 - 1 2 0

I x 0 = 1 1 1 - 1 - 1 2 0

x 0 = 1 2 1 1 1 - 1 2 0

x 0 y 0 = 1 2 2 + 0 2 + 0

= 1 2 2 2

= 1 1

Portanto, o ponto crítico é x 0 , y 0 = ( 1,1 ) .

Passo 3

Deixei  x = x 0 + u

Então  d x d t = d u d t desde que d x 0 d t = 0

Então a equação ( 1 ) se torna,

d u d t = 1 1 1 - 1 1 1 + 1 1 1 - 1 u - 2 0

= 2 0 + 1 1 1 - 1 u - 2 0

= 1 1 1 - 1 u … … .   ( 2 )

Passo 4

Tenhamos u = ξ e r t .

Em seguida, obtenha o sistema algébrico levando isso consideração.

1 - r 1 1 - 1 - r ξ 1 ξ 2 = 0 0

Vamos agora encontrar os autovalores, que são as raízes da equação.

1 - r 1 1 - 1 - r = 0

r 2 - 2 = 0

r 2 = 2

r = ± 2

r 1,2 = ± 2

Então os autovalores são r 1,2 = ± 2 .

Como os autovalores são reais com sinais opostos, o ponto crítico é o ponto de sela instável.

Resposta

O ponto crítico é x 0 , y 0 = ( 1,1 ) . Como os autovalores são reais com sinais opostos, o ponto crítico é o ponto de sela instável

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