Enunciado

10 - (d x)/(d t) = (2 + y) (y - x) , (d y)/(d t) = y ( 2 + x - x^2 )

Passo 1

As equações dadas são:

(d x)/(d t) = (2 + y) (y - x) e (d y)/(d t) = y ( 2 + x - x^2 )

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

(d x)/(d t) = 0 = (d y)/(d t)

Isso é,

(2 + y) (y - x)

2 + x = 0 ou y - x = 0

x = - 2 ou x = y

y (2 + x - x^2) = 0

Aqui, para ajudar na resolução iremos fazer a seguinte alteração: x = 2 x - x .

y (2 + 2 x - x - x^2) = 0

y (2 (1 + x) - x (1 + x)) = 0

y (1 + x) (2 - x) = 0

y = 0 ou x = - 1 ou x = 2

Portanto, os pontos críticos são:

(0,0) , (- 1 , - 1) e ( - 2,0 )

Passo 2

b) O objetivo é desenhar um campo de direção e um retrato de fase para o sistema usando um computador.

Use o software de bordo para desenhar um campo de direção do sistema.

Primeiro escreva o sistema como,

(d x)/(d t) = ( 2 + y ) ( y - x )

(d y)/(d t) = y ( 2 + x + x^2 )

O gráfico é mostrado abaixo:

A figura acima é o campo de direção que contém  (0 , 0) e ( 2 , 2 ) .

A figura acima é o campo de direção que contém  (- 1 , - 1) e ( - 2,0 ) .

 O retrato de fase do sistema:

Passo 3

c) Claramente da figura, os pontos  ( 0,0 ) e ( - 2,0 ) são pontos de sela e os pontos  ( 2,2 ) e ( - 1 , - 1 ) são pontos espirais.

Observe o ponto espiral  ( 2,2 ) , próximo a esse ponto as trajetórias estão se aproximando do ponto espiral  ( - 2 , - 2 ) , de modo que o ponto  ( 2,2 ) é assintoticamente estável.

As trajetórias próximas ao ponto espiral ( - 1 , - 1 ) se aproximam desse ponto, de modo que o ponto é assintoticamente estável.

Os pontos de sela  (0,0) e ( - 2,0 ) são instáveis.

Passo 4

d) Lembre-se do conceito,

Seja  P qualquer ponto no plano x y com a propriedade pela qual uma trajetória passando por esse ponto, se aproxima do ponto crítico de acordo que t -> oo . Então, diz-se que a trajetória é atraída pelo ponto crítico. O conjunto de todos esses pontos é chamado de bacia de atração ou região de estabilidade assintótica do ponto crítico.

Existem trajetórias que se aproximam do ponto de sela na origem como  t -> oo . Um dos pontos de sela  ( - 2,0 ) está no eixo x e a trajetória que passa pelo ponto é quase reta.

Passo 5

As trajetórias que passam pelos pontos, que estão acima do eixo- x e direto para a trajetória que passa pelo ponto ( - 2,0 ) , são abordagens do ponto crítico  ( 2,2 ) .

Portanto, esse conjunto de pontos forma a bacia de atração do ponto crítico  ( 2,2 ) .

As trajetórias que passam pelos pontos, que estão abaixo do eixo- x e direto para a trajetória que passa pelo ponto ( - 2,0 ) , são abordagens do ponto crítico  ( - 1 , - 1 ) .

Portanto, esse conjunto de pontos forma a bacia de atração do ponto crítico  ( - 1 , - 1 ) .

Observe essas trajetórias:

Resposta

  1. Os pontos críticos (0,0) , (- 1 , - 1) e ( - 2,0 ) .
  2. A figura acima é o campo de direção que contém  (0,0) e ( 2,2 ) .

    A figura acima é o campo de direção que contém  (- 1 , - 1) e ( - 2,0 ) .

     O retrato de fase do sistema:

     

  3. O ponto crítico  ( 0 , 0 ) é um ponto de sela e instável.
  4. O ponto crítico  (- 1 , - 1) é o ponto de espiral e é assintoticamente estável.

    O ponto crítico  ( 2,2 ) é um ponto de espiral e assintoticamente estável.

    O ponto crítico  ( - 2 , 0 ) é um ponto de sela e instável.

  5. Duas trajetórias entram no ponto de sela com inclinações de aproximadamente 0,6 . Todas as outras trajetórias acabam saindo da vizinhança do ponto.

A linha y = 0 é uma trajetória. Nesta linha,  y^' = 0 e x ' é positivo ou negativo, dependendo de x ser menor ou maior que 0 .

Assim, nenhuma outra trajetória pode cruzar essa linha.

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