7 - dx/dt = 2x - x^2 - xy, dy/dt = 3y - 2y^2 - 3xy

Passo 1

As equações dadas são:

d x d t = 2 x - x 2 - x y   e   d y d t = 3 y - 2 y 2 - 3 x y

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

d x d t = 0 = d y d t

Isso é,

2 x - x 2 - x y

x 2 - x - y = 0

x = 0   ou x + y = 2

3 y - 2 y 2 - 3 x y = 0

y 3 - 2 y - 3 x = 0

y = 0 ou 2 y + 3 x = 3

Passo 2

Resolva as equações ( 1 ) e ( 2 ) e, em seguida, obtenha

x = - 1 ; y = 3

Se  x ≠ 0 então x + y = 2 .

E quando  y ≠ 0 então 3 x + 2 y = 3 .

Da equação ( 1 ) , se  x ≠ 0 y = 0 , então  x = 2 .

Da equação ( 2 ) , se  x = 0 y ≠ 0 , então  y = 3 2 .

Portanto, os pontos críticos são:

0,0 , 0 , 3 2 , 2,0 , ( - 1.3 )

Passo 3

b) O campo de direção e o retrato de fase do sistema fornecido são mostrados abaixo:

Passo 4

c) O campo de direção que contém o ponto crítico  ( 0,0 ) é mostrado abaixo:

Observe que no retrato da fase acima, todas as curvas se afastam do ponto crítico  ( 0,0 ) .

Portanto, o ponto crítico  ( 0,0 ) é um nó instável.

Passo 5

O campo de direção que contém o ponto crítico  0 , 3 2 é mostrado abaixo:

Observe que no retrato da fase acima, todas as curvas se movem em direção ao ponto crítico  0 , 3 2 .

Portanto, o ponto crítico  0 , 3 2 é o ponto de sela e instável.

Passo 6

O campo de direção que contém o ponto crítico  ( 2,0 ) é mostrado abaixo:

( 2,0 ) .

Portanto, o ponto crítico  ( 2,0 ) é um nó e assintoticamente estável.

Passo 7

O campo de direção que contém o ponto crítico  ( - 1,3 ) é mostrado abaixo:

Observe que no retrato da fase acima, todas as curvas se movem em direção ao ponto crítico ( - 1,3 ) .

Portanto, o ponto crítico  ( - 1,3 ) é nó e assintoticamente estável.

Passo 8

d)

O retrato da fase acima mostra que a bacia de atração do ponto crítico  ( 2,0 ) é o primeiro, terceiro e quarto quadrante e a bacia de atração do ponto crítico  ( - 1,3 ) é o segundo quadrante.

Resposta

  1. Os pontos críticos 0,0 , 0 , 3 2 , 2,0 , ( - 1.3 ) .
  2.  

  3. O ponto crítico  ( 0,0 ) é um nó instável.
  4. O ponto crítico  0 , 3 2 é o ponto de sela e instável.

    O ponto crítico  ( 2,0 ) é um nó e assintoticamente estável.

    O ponto crítico  ( - 1,3 ) é nó e assintoticamente estável.

  5. O retrato da fase acima mostra que a bacia de atração do ponto crítico  ( 2,0 ) é o primeiro, terceiro e quarto quadrante e a bacia de atração do ponto crítico  ( - 1,3 ) é o segundo quadrante.
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