Enunciado

7 - (d x)/(d t) = 2 x - x^2 - x y , (d y)/(d t) = 3 y - 2 y^2 - 3 x y

Passo 1

As equações dadas são:

(d x)/(d t) = 2 x - x^2 - x y e (d y)/(d t) = 3 y - 2 y^2 - 3 x y

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

(d x)/(d t) = 0 = (d y)/(d t)

Isso é,

2 x - x^2 - x y

x (2 - x - y) = 0

x = 0 ou x + y = 2

3 y - 2 y^2 - 3 x y = 0

y (3 - 2 y - 3 x) = 0

y = 0 ou 2 y + 3 x = 3

Passo 2

Resolva as equações ( 1 ) e ( 2 ) e, em seguida, obtenha

x = - 1 ; y = 3

Se  x != 0 então x + y = 2 .

E quando  y != 0 então 3 x + 2 y = 3 .

Da equação ( 1 ) , se  x != 0 y = 0 , então  x = 2 .

Da equação ( 2 ) , se  x = 0 y != 0 , então  y = (3)/(2) .

Portanto, os pontos críticos são:

(0,0) , (0 , (3)/(2)) , (2,0) , ( - 1.3 )

Passo 3

b) O campo de direção e o retrato de fase do sistema fornecido são mostrados abaixo:

Passo 4

c) O campo de direção que contém o ponto crítico  ( 0,0 ) é mostrado abaixo:

Observe que no retrato da fase acima, todas as curvas se afastam do ponto crítico  ( 0,0 ) .

Portanto, o ponto crítico  ( 0,0 ) é um nó instável.

Passo 5

O campo de direção que contém o ponto crítico  (0 , (3)/(2)) é mostrado abaixo:

Observe que no retrato da fase acima, todas as curvas se movem em direção ao ponto crítico  (0 , (3)/(2)) .

Portanto, o ponto crítico  (0 , (3)/(2)) é o ponto de sela e instável.

Passo 6

O campo de direção que contém o ponto crítico  ( 2,0 ) é mostrado abaixo:

( 2,0 ) .

Portanto, o ponto crítico  ( 2,0 ) é um nó e assintoticamente estável.

Passo 7

O campo de direção que contém o ponto crítico  ( - 1,3 ) é mostrado abaixo:

Observe que no retrato da fase acima, todas as curvas se movem em direção ao ponto crítico ( - 1,3 ) .

Portanto, o ponto crítico  ( - 1,3 ) é nó e assintoticamente estável.

Passo 8

d)

O retrato da fase acima mostra que a bacia de atração do ponto crítico  ( 2,0 ) é o primeiro, terceiro e quarto quadrante e a bacia de atração do ponto crítico  ( - 1,3 ) é o segundo quadrante.

Resposta

  1. Os pontos críticos (0,0) , (0 , (3)/(2)) , (2,0) , ( - 1.3 ) .
  2.  

  3. O ponto crítico  ( 0,0 ) é um nó instável.
  4. O ponto crítico  (0 , (3)/(2)) é o ponto de sela e instável.

    O ponto crítico  ( 2,0 ) é um nó e assintoticamente estável.

    O ponto crítico  ( - 1,3 ) é nó e assintoticamente estável.

  5. O retrato da fase acima mostra que a bacia de atração do ponto crítico  ( 2,0 ) é o primeiro, terceiro e quarto quadrante e a bacia de atração do ponto crítico  ( - 1,3 ) é o segundo quadrante.
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5 - d x d t = x - x y , d y d t = y + 2 x y
1 - d x d t = - x ,d y d t = - 2 y ; x 0 = 4 , y 0 = 2.
9 - d x d t = y 2 - x - y , d y d t = - x - y - 2 x y
6 - (d x)/(d t) = 1 + 2 y , (d y)/(d t) = 1 - 3 x^2
8 - (d x)/(d t) = - (2 + y) (x + y) , (d y)/(d t) = - y ( 1 - x )