11 - dx/dt = -x + 2xy, dy/dt = y - x^2 - y^2

Passo 1

As equações dadas são:

d x d t = - x + 2 x y   e   d y d t = y - x 2 - y 2

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

d x d t = 0 = d y d t

Isso é,

- x + 2 x y

- x 1 - 2 y = 0

Além disso, considere a equação:

y - x 2 - y 2 = 0

Se o valor de x = 0 , então o valor de y é:

y = 0

y = 1

Se o valor de  x ≠ 0 , em seguida, os valores de  x  e  y  é:

y = 1 2

x = ± 1 2

Portanto, os pontos críticos são:

0,0 , 0 , 1 , 1 2 , 1 2 ,   - 1 2 , 1 2

Passo 2

b)

O gráfico de direção é mostrado abaixo:

O gráfico de direção é mostrado abaixo:

Passo 3

c) Observe o gráfico de direção na parte acima.

O ponto crítico  ( 0,0 ) é um ponto de sela e é instável.

O ponto crítico  ( 0,1 ) é um ponto de sela.

Portanto, o ponto crítico  ( 0,1 ) é um ponto de sela instável.

O ponto crítico  1 2 , 1 2 é um centro.

Portanto, o ponto crítico  1 2 , 1 2 é um centro e é assintoticamente estável.

O ponto crítico  - 1 2 , 1 2   é um centro.

Portanto, o ponto crítico  - 1 2 , 1 2 é um centro e é assintoticamente estável.

Passo 4

d) Observe o gráfico de direção na parte acima b.

O ponto crítico assintoticamente estável é 1 2 , 1 2  e  - 1 2 , 1 2 .

Portanto, a bacia de atração de cada ponto crítico 1 2 , 1 2  e  - 1 2 , 1 2   consiste no restante do plano  x y .

Resposta

  1. Os pontos críticos   0,0 , 0,1 , 1 2 , 1 2 ,   - 1 2 , 1 2
  2. O gráfico de direção é mostrado abaixo:
  3. O gráfico de direção é mostrado abaixo:

  4. O ponto crítico  ( 0,1 ) é um ponto de sela.
  5. Portanto, o ponto crítico  ( 0,1 ) é um ponto de sela instável.

    O ponto crítico  1 2 , 1 2 é um centro.

    Portanto, o ponto crítico  1 2 , 1 2 é um centro e é assintoticamente estável.

    O ponto crítico  - 1 2 , 1 2   é um centro.

    Portanto, o ponto crítico  - 1 2 , 1 2 é um centro e é assintoticamente estável.

  6. O ponto crítico assintoticamente estável é 1 2 , 1 2  e  - 1 2 , 1 2 .

Portanto, a bacia de atração de cada ponto crítico 1 2 , 1 2  e  - 1 2 , 1 2   consiste no restante do plano  x y .

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