Enunciado

12 - (d x)/(d t) = y , (d y)/(d t) = y - (1)/(6) x^3 - (1)/(5) y

Passo 1

As equações dadas são:

(d x)/(d t) = y e (d y)/(d t) = y - (1)/(6) x^3 - (1)/(5) y

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

(d x)/(d t) = 0 = (d y)/(d t)

Quando y = 0 , temos:

6 x - x^3 = 0

x (6 - x^2) = 0

x = 0 , +- sqrt(6)

Portanto, os pontos críticos são:

(0,0) , (sqrt(6) , 0) , ( - sqrt(6) , 0 )

Passo 2

b)

O campo de direção é mostrado abaixo:

O retrato de fase da equação diferencial é desenhado como abaixo:

Passo 3

c) Ao comparar determinado sistema com,

(d x)/(d t) = F ( x , y )

(d y)/(d t) = G ( x , y )

Dado,

F (x , y) = y

G (x , y) = x - (1)/(6) x^3 - (1)/(5) y

Então,

F_x = 0

F_y = 1

G_x = 1 - (x^2)/(2)

G_y = - (1)/(5)

O sistema linear sobre um ponto crítico  ( x^0 , y^0 ) é dado por:

(d)/(d t) ([[u],[v]]) = ([[F_x (x^0 , y^0) F_y (x^0 , y^0)],[G_x (x^0 , y^0) G_y (x^0 , y^0)]]) ([[u],[v]])

Passo 4

d) Para,

(x^0 , y^0) = ( 0,0 )

O sistema linear é:

(d)/(d t) ([[u],[v]]) = ([[0,1],[1,-,(1)/(5)]]) ([[u],[v]])

Isso é,

u^' = u ; v^' = u - (1)/(5) v

E a equação característica do sistema linear associado é:

r ((1)/(5) + r) - 1 = 0

Então os autovalores são:

r_1 = (- 1 + sqrt(101))/(10)

r_2 = (- 1 - sqrt(101))/(10)

Como os autovalores são reais com sinais opostos, portanto o ponto crítico é um ponto de sela instável.

Passo 5

Para,

(x^0 , y^0) = ( - sqrt(6) , 0 )

O sistema linear é:

(d)/(d t) ([[u],[v]]) = ([[0,1],[4,-,(1)/(5)]]) ([[u],[v]])

Isso é,

u^' = u ; v^' = 4 u - (1)/(5) v

E a equação característica do sistema linear associado é:

r ((1)/(5) + r) - 4 = 0

Então os autovalores são:

r_1 = (- 1 - i sqrt(101))/(10)

r_2 = (- 1 + i sqrt(401))/(10)

Como os autovalores são puramente imaginários, o ponto crítico é um nó assintoticamente estável.

Resposta

  1. pontos críticos (0,0) , (sqrt(6) , 0) , ( - sqrt(6) , 0 )
  2. O campo de direção é mostrado abaixo:
  3. O retrato de fase da equação diferencial é desenhado como abaixo:

  4. O ponto crítico (- sqrt(6) , 0) é um nó assintoticamente estável.

O ponto crítico (sqrt(6) , 0) é um ponto de espiral e assintoticamente estável.

O ponto crítico (0 , 0) é uma sela instável.

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