12 - dx/dt = y, dy/dt = y - 1/6 x^3 - 1/5 y

Passo 1

As equações dadas são:

d x d t = y   e   d y d t = y - 1 6 x 3 - 1 5 y

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

d x d t = 0 = d y d t

Quando y = 0 , temos:

6 x - x 3 = 0

x 6 - x 2 = 0

x = 0 ,   ± 6

Portanto, os pontos críticos são:

0,0 , 6 , 0 , ( - 6 , 0 )

Passo 2

b)

O campo de direção é mostrado abaixo:

O retrato de fase da equação diferencial é desenhado como abaixo:

Passo 3

c) Ao comparar determinado sistema com,

d x d t = F ( x , y )

d y d t = G ( x , y )

Dado,

F x , y = y

G x , y = x - 1 6 x 3 - 1 5 y

Então,

F x = 0

F y = 1

G x = 1 - x 2 2

G y = - 1 5

O sistema linear sobre um ponto crítico  ( x 0 , y 0 ) é dado por:

d d t u   v = F x x 0 , y 0           F y x 0 , y 0 G x x 0 , y 0         G y x 0 , y 0 u v

Passo 4

d) Para,

x 0 , y 0 = ( 0,0 )

O sistema linear é:

d d t u v = 0 1 1 - 1 5   u v

Isso é,

u ' = u ; v ' = u - 1 5 v

E a equação característica do sistema linear associado é:

r 1 5 + r - 1 = 0

Então os autovalores são:

r 1 = - 1 + 101 10

r 2 = - 1 - 101 10

Como os autovalores são reais com sinais opostos, portanto o ponto crítico é um ponto de sela instável.

Passo 5

Para,

x 0 , y 0 = ( - 6 , 0 )

O sistema linear é:

d d t u v = 0 1 4 - 1 5   u v

Isso é,

u ' = u ; v ' = 4 u - 1 5 v

E a equação característica do sistema linear associado é:

r 1 5 + r - 4 = 0

Então os autovalores são:

r 1 = - 1 - i 101 10

r 2 = - 1 + i 401 10

Como os autovalores são puramente imaginários, o ponto crítico é um nó assintoticamente estável.

Resposta

  1. pontos críticos   0,0 , 6 , 0 , ( - 6 , 0 )
  2. O campo de direção é mostrado abaixo:
  3. O retrato de fase da equação diferencial é desenhado como abaixo:

  4. O ponto crítico - 6 , 0 é um nó assintoticamente estável.

O ponto crítico 6 , 0 é um ponto de espiral e assintoticamente estável.

O ponto crítico 0 , 0 é uma sela instável.

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