18 - dx/dt = 2y, dy/dt = -8x

Passo 1

  1. As equações dadas são:
  2. d x d t = 2 y   e   d y d t = - 8 x … … . .   ( 1 )

    d y d x = d y d t d x d t

    = - 8 x 2 y

    = - 4 x y

    Portanto, a equação diferencial,

    d y d x = - 4 x y

    Passo 2

    Separando a varável,

    y d y = - 4 x d x

    Integrando ambos os lados, temos:

    ∫ y d y = - ∫ 4 x d x

    1 2 y 2 = - 2 x 2 + c 1

    Temos que ∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + c

    2 x 2 + y 2 2 = - c 1

    4 x 2 + y 2 = - 2 c 1

    4 x 2 + y 2 = c

    Portanto, as soluções necessárias são fornecidas por:

    H x , y = 4 x 2 + y 2 = c

    Portanto, as trajetórias são elipses.

    Passo 3

  3. Gráficos de várias curvas de nível e a direção das trajetórias para diferentes valores de  c  são apresentados abaixo:

Uma plotagem por computador é útil para exibir as curvas de nível de  H x , y = 4 x 2 + y 2 = c , algumas das quais são mostradas acima. A direção do movimento nas trajetórias pode ser determinada desenhando um campo de direção para o sistema fornecido. Observe que existe um ponto espiral na origem.

Resposta

  1. H x , y = 4 x 2 + y 2 = c

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