Enunciado

Em cada um desses problemas:

s ' ' + 0,125 s ' + 4 s = F t ; s 0 = 2 ; s ' 0 = 0 .

(a) Faça os gráficos da função externa F ( t ) e da solução u ( t )   em função de   t usando o mesmo conjunto de eixos. Use um intervalo de tempo suficientemente longo para que a solução transiente seja substancialmente reduzida. Observe a relação entre a amplitude e a fase da força externa e a amplitude e a fase da solução. Note que α 0 = k / m = 2 .

F t = 3 cos ⁡ 6 t

Passo 1

Devemos encontrar u ( t ) , F t = 3 cos ⁡ 6 t .

Convertendo a equação característica em:

m 2 + 0,125 m + 4 = 0

Resolvendo a equação quadrática:

m = - 1 16 ± 1023 16 i

A solução homogênea pode ser dada pela equação que diz que:

y h = c 1 e t a cos ⁡ b t + c 2 e t a sen ⁡ b t

Aqui, consideramos que a é a parte real e b a parte homogênea.

Se a = - 1 16 e b = 1023 16 , então a solução homogênea será:

u c = c 1 e - t / 16 cos ⁡ 1023 16 t + c 2 e - t / 16 sen ⁡ 1023 16 t

Passo 2

Encontraremos a solução particular usando o método de coeficiente indeterminado, vamos chamar U t = s ; U ' t = s ' e   U ' ' t = s ' ' . Usaremos para encontrar os respectivos U a tabela de termos do capítulo 3.5 que fala sobre o método dos coeficientes indeterminados.

U t = A cos ⁡ 6 t + B sen ⁡ 6 t

Derivando:

U ' t = - 6 A sen ⁡ 6 t + 6 B cos ⁡ 6 t

U ' ' t = - 36 A cos ⁡ 6 t - 36 B sen ⁡ 6 t

Se a equação é:

s ' ' + 0,125 s ' + 4 s = 3   c o s 6 t

Substitua na equação original:

- 36 A cos ⁡ 6 t - 36 B sen ⁡ 6 t + 0,125   - 6 A sen ⁡ 6 t + 6 B cos ⁡ 6 t + 4 A cos ⁡ 6 t + B sen ⁡ 6 t = 3   c o s 6 t

Teremos:

- 36 A + 3 B 4 + 4 A sen ⁡ 6 t + - 36 B - 3 A 4 + 4 B sen ⁡ 6 t   = 3 cos ⁡ 6 t

Por comparação:

- 36 A + 3 B 4 + 4 A = 3

- 36 B - 3 A 4 + 4 B = 0  

Resolvendo, teremos:

A = - 1536 16394     e   B = 36 16393

Substituindo, teremos:

U t = - 1536 16394 cos ⁡ 6 t + 36 16393 sen ⁡ 6 t

A solução geral pode ser dada por:

u t = u c + U ( t )

Substituindo, teremos:

u t = c 1 e - t / 16 cos ⁡ 1023 16 t + c 2 e - t / 16 sen ⁡ 1023 16 t - 1536 16394 cos ⁡ 6 t + 36 16393 sen ⁡ 6 t

Passo 3

Aplicando as condições iniciais de contorno, se:

u t = c 1 e - t / 16 cos ⁡ 1023 16 t + c 2 e - t / 16 sen ⁡ 1023 16 t - 1536 16394 cos ⁡ 6 t + 36 16393 sen ⁡ 6 t

Derivando, teremos:

u ' t = - 1 16 e - t 16 c 1 cos ⁡ 1023 16 t + c 2 sen ⁡ 1023 16 t + e - t 16 - c 1 1023 16 sen ⁡ 1023 16 t + c 2 1023 16 cos ⁡ 1023 16 t + 9216 16393 sen ⁡ 6 t + 216 16393 cos ⁡ 6 t

Se a primeira condição é u 0 = 2 :

u 0 = c 1 - 1536 16393 = 2

c 1 = 2,093698

Agora, a outra condição diz que u ' 0 = 0 :

u ' 0 = - 1 16 c 1 + 1023 16 c 2 + 216 16393 = 0

c 2 = 0,058869

Então, a nossa solução geral será:

u t = 2,093698 e ( - t 16 ) cos ⁡ 1023 16 t + 0,058869 e ( - t 16 ) sen ⁡ 1023 16 t - 1536 16394 cos ⁡ 6 t + 36 16393 sen ⁡ 6 t

Resposta

u t = 2,093698 e ( - t 16 ) cos ⁡ 1023 16 t + 0,058869 e ( - t 16 ) sen ⁡ 1023 16 t - 1536 16394 cos ⁡ 6 t + 36 16393 sen ⁡ 6 t

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