Enunciado

A equação

é uma generalização da equação de Laplace, algumas vezes denominada equação de Helmholtz.

Considere a equação de Helmholtz no disco r

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

v x x + v y y + k ² v = 0

v r r + 1 r v r + 1 r 2 v Θ Θ + k 2 v = 0

Para a função, temos que:

R r = c 1 J n k r + c 2 Y n ( k r )

  Θ θ = d 1 cos ⁡ n θ + d 2 sin ⁡ n θ

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

v r , θ = c 0 J 0 k r 2 + ∑ J n   k r   b n sin ⁡ n θ + c n cos ⁡ n θ

b n = 1 π J n k c   ∫ f θ sin ⁡ n θ d θ  

c n = 1 π J n k c   ∫ f θ cos ⁡ n θ d θ

Resposta

v r , θ = c 0 J 0 k r 2 + ∑ J n   k r   b n sin ⁡ n θ + c n cos ⁡ n θ

b n = 1 π J n k c   ∫ f θ sin ⁡ n θ d θ  

c n = 1 π J n k c   ∫ f θ cos ⁡ n θ d θ

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