Enunciado

Em cada um dos problemas de 24 a 27, encontre a transformada de Laplace  Y ( s )   =   £ { y } da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na Seção 6.3. Você pode querer olhar os problemas de 21 a 24 na Seção 6.1.

y ' ' + 4 y = t ,     0 ≤ t < 1 , 1 ,     1 ≤ t < ∞ ;   s e   y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Escrevendo:

y ' ' + 4 y = t ,     0 ≤ t < 1 , 1 ,     1 ≤ t < ∞ ;   s e   y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Nós temos que:

L y ' ' + 4 y = L f t

Usando a transformação linear de Laplace, com o Corolário 6.2.2 e tendo os valores iniciais, podemos dizer que:

L y ' ' + 4 y = L y ' ' } + 4 L { y

= s 2 L y - s y 0 - y ' 0 + 4 L y = s 2 L y - 0 - 0 + 4 L { y } = f ( s ) ( s 2 + 4 )

No lado direito da EDO, nós temos que:

f s s 2 + 4 = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t = ∫ 0 1 t . e - s t d t + ∫ 1 ∞ e - s t d t

Essas integrais foram calculadas em exercícios anteriores:

f s s 2 + 4 = - t s e s t - 1 s 2 e s t 0 1 + - 1 s e s t 0 1

Resolvendo, teremos:

f s s 2 + 4 = - 1 s e s - 1 s 2 e s + 1 s 2 + 1 s e s

Unindo os termos em comum e os mínimos múltiplos comuns:

f s = 1 - e - s s 2 ( s 2 + 4 )

Resposta

f s = 1 - e - s s 2 ( s 2 + 4 )

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Considere o problema de valor inicial y ' ' + y = g ( t ) ,y ( 0 ) = 0 ,y ' ( 0 ) = 0 , em que g ( t ) = u 0 ( t ) + ∑ k = 1 n ( - 1 ) k u k π ( t ) . Desenhe o gráfico de g(t) em um intervalo como 0
Considere o problema de valor inicial y ' ' + 0.1 y ' + y = g ( t ) , y ( 0 ) = 0 ,y ' ( 0 ) = 0 , em que g(t) é a mesma que no Problema 21.Desenhe o gráfico da solução. Use um valor de n suficienteme
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe um gráfico da solução. y ' ' + y = δ ( t - 2 π ) c o s ( t ) ;y ( 0 ) = 0 ,y ' ( 0 ) = 1 .
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe um gráfico da solução. y ' ' - y = - 20 δ ( t - 3 ) ;y ( 0 ) = 1 ,y ' ( 0 ) = 0
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe um gráfico da solução. y ' ' + 2 y ' + 2 y = δ ( t - π ) ;y ( 0 ) = 1 ,y ' ( 0 ) = 0 .