Enunciado

17. O calor transferido de um corpo para seu ambiente por radiação, baseado na lei de StefanBoltzmann,5 é descrito pela equação diferencial

d u d t = - α u 4 - T 4

em que u(t) é a temperatura absoluta (em graus Kelvin) do corpo no instante t, T é atemperatura absoluta do ambiente, e α é uma constante que depende dos parâmetros físicos docorpo. No entanto, se u for muito maior do que T, as soluções da Eq. (i) podem ser bemaproximadas por soluções da equação mais simples

d u d t = - α u 4

Suponha que um corpo, a uma temperatura inicial de 2000°K, está em um meio à temperaturade 300°K e que α = 2,0 × 10–12 °K–3/s.(a) Determine a temperatura do corpo em um instante qualquer resolvendo a Eq. (ii).(b) Faça o gráfico de u em função de t.(c) Encontre o instante τ no qual u(τ) = 600, ou seja, o dobro da temperatura ambiente. Até esseinstante, o erro ao usar a Eq. (ii) para aproximar as soluções da Eq. (i) não é maior do que 1%.

Passo 1

Como o enunciado nos diz, podemos usar a equação que já calculamos visto que o erro no tempo é muito pequeno. Calculamos em a) que

u = - - 6 ⋅ 10 - 12 t + 2000 - 3 - 1 3

E agora queremos

u ( τ )   =   600

Então vamos substituir na nossa equação

600 =   - - 6 ⋅ 10 - 12 t + 2000 - 3 - 1 3

600 - 3 + 2000 - 3 =   6 ⋅ 10 - 12 t

t = 600 - 3 + 2000 - 3 6 ⋅ 10 12

t = 792

Podemos observar isso no gráfico

Onde nossa função intercepta a reta u = 600 em t = 792

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

t = 792

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