Enunciado

Cada um dos Exercícios 59-80 fornece a primeira derivada de uma função contínua y = f(x). Determine y" e então use os passos 2-4 do procedimento para construção de gráficos da página 237 para esboçar a forma geral do gráfico de f.

61-

y ' = x x - 3 2

Passo 1

Fazendo y ' = 0 conseguimos achar pela forma que está escrita a equação os pontos críticos:

x x - 3 2 = 0

Para ser zero:

x = 0

Ou

x - 3 = 0 → x = 3

Passo 2

Fazendo a segunda deriva ficamos:

y ' ' = x ' x - 3 2 + x ( x - 3 2 ) '

y ' ' = x - 3 2 + 2 x ( x - 3 )

y ' ' = x - 3 x - 3 + 2 x = x - 3 3 x - 3

y ' ' = 3 ( x - 1 ) ( x - 3 )

Agora testando os valores:

Para x = 0

y ' ' 0 = 3 0 - 1 0 - 3 = 9 → p o s i t i v o

Logo esse ponto é mínimo local

Para x = 3

y ' ' 3 = 3 3 - 1 3 - 3 = 0

Como o resultado deu zero, esse ponto pode ser máximo, mínimo, inflexão ou singularidade. Não sabemos como ela se comporta, na hora de separar os intervalos que vamos saber.

Pontos de inflexão:

3 x - 1 x - 3 = 0

x = 1 ;     x = 3

Passo 3

Separando os intervalos:

Para x: -1 ,0.5, 2, 4

Logo x=3 é um ponto de inflexão pela mudança somente da concavidade.

Resposta

y ' ' = 3 ( x - 1 ) ( x - 3 )

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