Enunciado

Cada um dos Exercícios 69-74 fornece uma função f (x, y) e um número positivo P. Em cada exercício, mostre que existe um δ > 0 tal que, para todo (x, y),

x 2 + y 2 < δ ⇒ f x , y - f 0,0 < ϵ

f x , y = x + y 2 + cos ⁡ x ,   ϵ = 0,0 2

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora testar nossos deltinhas!

Vamos tomar δ = 0 , 0 1 .

Sabemos que as funções trigonométricas estão entre -1 e 1, bora trabalhar em cima disso.

- 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1

Vamos somar 2 em tudo,

- 1 + 2 ≤ 2 + cos ⁡ x ≤ 1 + 2

1 ≤ 2 + cos ⁡ x ≤ 2

Agora vamos inverter tudo, lembrando que queremos chegar na função f(x,y),

1 3 ≤ 1 2 + cos ⁡ x ≤ 1

Bora multiplicar tudo por |x + y|,

| x + y | 3 ≤ x + y 2 + cos ⁡ x ≤ x + y ≤ x + y

Passo 2

Agora sim vamos trabalhar como antes,

Temos que x < δ e y < δ , então:

f x , y - f 0,0 = x + y 2 + cos ⁡ x - 0

x + y 2 + cos ⁡ x ≤ x + y

x + y < 0,01 + 0,01 = 0,02 = ϵ

Bora pro próximo.

Resposta

Demonstração.

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