Enunciado

Extensão contínua Defina f (0, 0) de maneira a estender

f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2

A uma função continua na origem.

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos usar o teorema do confronto nessa, para definir que o limite da função enunciada é 0.

Vamos definir as funções que serão comparáveis a partir do módulo da parte de cima da função enunciada,

x y x 2 - y 2 = x y x 2 - y 2 ≤ x y x 2 + y 2

= x 2 y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2 | x 2 + y 2 |

= x 2 + y 2 2

Vamos dividir por x 2 + y 2

x y x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 2 x 2 + y 2

- x 2 + y 2 ≤ x y x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2

Passo 2

Agora podemos utilizar o teorema do confronto,

lim x , y → 0,0 ⁡ ± x 2 + y 2 = 0

Portanto,

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 - y 2 x 2 + y 2 = 0

Resposta

Demonstração

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