Enunciado

Para cada uma das funções a seguir, ache a assíntota vertical do gráfico e faça um esboço dele:

f x = 1 x

Passo 1

A assíntota vertical é o valor de x que ao tomarmos o limite ele vai para + ∞ ou para - ∞ .

Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.

Quem são eles?

Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.

Nesse caso

x = 0

Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais, para entender o comportamento da função. Ou seja, calcular

lim x → 0 + ⁡ f x

E

lim x → 0 - ⁡ f x

Passo 2

Começando com

lim x → 0 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 0 + ⁡ 1 x = 1 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 0 , neste caso, pela direita.

Pela direita, significa pegar valores maiores que 0 , logo o nosso denominador, que é x , vai assumir valores maiores que 0 , sendo positivo.

E isso nos diz que

lim x → 0 + ⁡ 1 x = + ∞

Passo 3

Começando com

lim x → 0 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 0 - ⁡ 1 x = 1 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 0 , neste caso, pela esquerda.

Pela esquerda, significa pegar valores menores que 0 , logo o nosso denominador, que é x , vai assumir valores menores que 0 , sendo negativo.

E isso nos diz que

lim x → 0 - ⁡ 1 x = - ∞

Passo 4

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs

Temos que

x = 0

É assíntota vertical.

Separamos os limites laterais para conseguirmos esboçar o gráfico corretamente.

Porque quando x chegar próximo de 0 por valores ele decresce indefinidamente, e quando ele estiver um pouco depois, ou seja, por valores maiores ele vai crescer indefinidamente.

O esboço vai ficar

Repara que antes do 0 a função desce loucamente.

E depois do 0 ela vem lááááá do + ∞

Resposta

Assíntota vertical:

x = 0

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