Enunciado

Nos exercícios de 11 a 22, a equação é de uma cônica tendo um foco na origem. Em cada exercício, (a) ache a excentricidade, (b) identifique a cônica, (c) escreva a equação da diretriz que corresponde ao foco na origem, (d) faça o esboço da curva.

13. r = 5 2 + s e n θ

Passo 1

Para responder o que está sendo pedido no enunciado, basta observar a equação da cônica dada e vê se ela se enquandra em alguma das equações do teorema 10.8.3. Caso ela não se enquadre, basta realizar algumas operações básicas para transformar a equação dada numa equação da forma escrita pelo teorema.

Passo 2

Sendo assim, temos para a cônica em questão:

r = 5 2 + s e n θ = 5 2 1 + 1 2 s e n θ e d 1 + e s e n θ             e = 1 2   e   d = 5 = 5   ; t r a t a - s e   d e   u m a   e l i p s e

A equação da diretriz é dada por:

r s e n   θ = 5

Passo 3

Um esboço da curva pode ser representado por:

Resposta

  1. 1 /2
  2. Elipse
  3. r s e n   θ = 5
  4. gráfico
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Mostre que a equação r = k csc 2 ⁡ θ 2 , onde k é uma constante, é uma equação polar de uma parábola.
Mostre que a equação de uma cônica que tem o eixo principal ao longo do eixo polar e de sua extensão, um foco na origem e cuja diretriz está à direita do foco, é: r = e d 1 + e cos ⁡ θ
Mostre que a equação de uma cônica que tem eixo principal ao longo do semi-eixo π 2 e de sua extensão, um foco na origem e cuja diretriz correspondente está acima do foco é r = e d 1 + e sen ⁡ θ