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Para cada uma das funções a seguir, ache a assíntota vertical do gráfico e faça um esboço dele:

f x = 5 x 2 + 8 x + 15

Passo 1

A assíntota vertical é o valor de x que ao tomarmos o limite ele vai para + ∞ ou para - ∞ .

Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.

Quem são eles?

Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.

Nesse caso

x 2 + 8 x + 15 = 0

Resolvendo por Bhaskaras, vamos ter

x = - 3

x = - 5

Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais, para entender o comportamento da função. Ou seja, calcular

lim x → - 3 + ⁡ f x

E

lim x → - 3 - ⁡ f x

Depois devemos fazer

lim x → - 5 + ⁡ f x

E

lim x → - 5 - ⁡ f x

Passo 2

Começando com

lim x → - 3 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 3 + ⁡ 5 x 2 + 8 x + 15 = 2 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 3 , neste caso, pela direita.

A primeira coisa que devemos fazer é fatorar aquele denominador. Aproveitando que já sabemos as raízes dessa expressão de 2 º grau.

x 2 + 8 x + 15 = x - - 3 x - - 5 = x + 3 x + 5

Nossa fração vai ficar

5 x + 3 x + 5

Pela direita, significa pegar valores maiores que - 3 , logo que é x + 3 , vai assumir valores maiores que 0 , sendo positivo. Além disso, x + 5 vai ser um termo positivo, porque 5 é maior que os valores de x que estão bem próximos de - 3 .

O denominador assim vai ser positivo.

E isso nos diz que

lim x → - 3 + ⁡ 5 x 2 + 8 x + 15 = + ∞

Passo 3

Começando com

lim x → - 3 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 3 - ⁡ 5 x 2 + 8 x + 15 = 5 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 3 , neste caso, pela esquerda.

Já fatoramos o denominador, nossa fração vai ficar

5 x + 3 x + 5

Pela esquerda, significa pegar valores menores que - 3 , logo que é x + 3 , vai assumir valores menores que 0 , sendo negativo. Além disso, x + 5 vai ser um termo positivo, porque 5 é maior que os valores de x que estão bem próximos de - 3 .

O denominador assim vai ser negativo.

E isso nos diz que

lim x → - 3 - ⁡ 5 x 2 + 8 x + 15 = - ∞

Passo 4

Agora para os valores de x = - 5

lim x → - 5 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 5 + ⁡ 5 x 2 + 8 x + 15 = 5 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 5 , neste caso, pela direita.

Já fatoramos o denominador, nossa fração vai ficar

5 x + 3 x + 5

Pela direita, significa pegar valores maiores que - 5 , logo que é x + 5 , vai assumir valores maiores que 0 , sendo positivo. Além disso, x + 3 vai ser um termo negativo, porque 3 é menor que os valores de x que estão bem próximos de - 5 .

O denominador assim vai ser negativo.

E isso nos diz que

lim x → - 5 + ⁡ 5 x 2 + 8 x + 15 = - ∞

Passo 5

Começando com

lim x → - 5 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 5 - ⁡ 5 x 2 + 8 x + 15 = 5 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 5 , neste caso, pela esquerda.

Já fatoramos o denominador, nossa fração vai ficar

5 x + 3 x + 5

Pela esquerda, significa pegar valores menores que - 5 , logo que é x + 5 , vai assumir valores menores que 0 , sendo negativo. Além disso, x + 3 vai ser um termo negativo, porque 3 é menor que os valores de x que estão bem próximos de - 5 .

O denominador assim vai ser positivo, porque o produto de dois números negativos vai dar positivo.

E isso nos diz que

lim x → - 5 - ⁡ 5 x 2 + 8 x + 15 = + ∞

Passo 6

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs

Temos que

x = - 3

E

x = - 5

São assíntotas verticais.

Separamos os limites laterais para conseguirmos esboçar o gráfico corretamente.

O esboço vai ficar

Resposta

Assíntotas verticais:

x = - 3

x = - 5

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