Determine o limite lim x → 3 + ⁡ 1 x - 3

Passo 1

Perceba que nosso objetivo é saber o que acontece com a função f x =     ⁡ 1 x - 3   quando nos aproximamos de 3 pela direita, ou seja por valores positivos.

Como estamos numa divisão, podemos usar a regra do quociente: “O limite do quociente é o quociente dos limites”, então:

lim x → 3 + ⁡ 1 x - 3 =     ⁡ l i m x → 3 + 1 l i m x → 3 + ( x - 3 )

Passo 2

Olhando para o denominador da fração que desejamos calcular o limite, vemos uma subtração, então é só usar a regrinha véi: “limite da subtração é a subtração dos limites”

l i m x → 3 + 1 l i m x → 3 + ( x - 3 ) =   l i m x → 3 + 1 l i m x → 3 + x -   l i m x → 3 + 3

Passo 3

Precisamos lembrar de duas coisinhas para concluir nossa questão:

1ª coisa: Como 3 não depende de x ,

l i m x → 3 + 3 = 3

Da mesma forma,

l i m x → 3 + 1 = 1

Passo 4

Substituindo na nossas contas,

l i m x → 3 + 1 l i m x → 3 + ( x - 3 ) =   l i m x → 3 + 1 l i m x → 3 + x -   l i m x → 3 + 3 = 1 3 - 3

Temos que numerador do limite não se anula, enquanto o numerador se anula. Sabemos que a divisão por zero leva a nossa função a ir pra infinito, só falta saber se pra +   ∞ ou para - ∞ . Então vamos analisar,

Como o numerador do quociente é   1 > 0 e x   → 3 + , o que significa dizer que me aproximo de zero por valores de x > 3 , então nosso quociente ficaria assim ó:

p o s i t i v o p o s i t i v o = p o s i t i v o

Isso significa dizer que nosso resultado é um tende a infinito para valores positivos.

Resposta

lim x → 3 + ⁡ 1 x - 3 = ∞

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