Enunciado

Determine o limite underset(x -> 3^+)(lim) (1)/(x - 3)

Passo 1

Perceba que nosso objetivo é saber o que acontece com a função f (x) = (1)/(x - 3) quando nos aproximamos de 3 pela direita, ou seja por valores positivos.

Como estamos numa divisão, podemos usar a regra do quociente: “O limite do quociente é o quociente dos limites”, então:

underset(x -> 3^+)(lim) (1)/(x - 3) = (underset(x -> 3^+)(l i m) 1)/(underset(x -> 3^+)(l i m) ( x - 3 ))

Passo 2

Olhando para o denominador da fração que desejamos calcular o limite, vemos uma subtração, então é só usar a regrinha véi: “limite da subtração é a subtração dos limites”

(underset(x -> 3^+)(l i m) 1)/(underset(x -> 3^+)(l i m) ( x - 3 )) = (underset(x -> 3^+)(l i m) 1)/(underset(x -> 3^+)(l i m) x - underset(x -> 3^+)(l i m) 3)

Passo 3

Precisamos lembrar de duas coisinhas para concluir nossa questão:

1ª coisa: Como 3 não depende de x ,

underset(x -> 3^+)(l i m) 3 = 3

Da mesma forma,

underset(x -> 3^+)(l i m) 1 = 1

Passo 4

Substituindo na nossas contas,

(underset(x -> 3^+)(l i m) 1)/(underset(x -> 3^+)(l i m) ( x - 3 )) = (underset(x -> 3^+)(l i m) 1)/(underset(x -> 3^+)(l i m) x - underset(x -> 3^+)(l i m) 3) = (1)/(3 - 3)

Temos que numerador do limite não se anula, enquanto o numerador se anula. Sabemos que a divisão por zero leva a nossa função a ir pra infinito, só falta saber se pra + oo ou para - oo . Então vamos analisar,

Como o numerador do quociente é 1 > 0 e x -> 3^+ , o que significa dizer que me aproximo de zero por valores de x > 3 , então nosso quociente ficaria assim ó:

(p o s i t i v o)/(p o s i t i v o) = p o s i t i v o

Isso significa dizer que nosso resultado é um tende a infinito para valores positivos.

Resposta

underset(x -> 3^+)(lim) (1)/(x - 3) = oo

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