Enunciado

Em cada item, determine onde f é diferenciável.

f (x) = (1)/(s e n x cos x)

Passo 1

Para uma função ser diferenciável em um ponto, vemos se a função é contínua no ponto e se a derivada dela é contínua nesse ponto.

Como queremos dizer onde nossa função é diferenciável, podemos ver onde isso não acontece, a partir dessas duas condições. Beleza? Vamos lá!

Passo 2

Olhando a primeira condição:

f (x) = (1)/(s e n x cos x)

Como isso é uma fração, sabemos que o denominador precisa ser diferente de 0 , para a função estar definida. Então:

s e n x cos x != 0

Daí temos que essas duas funções não podemo zerar, já que temos um produto. Assim,

s e n x != 0 :. x != n pi + pi // 2

cos x != 0 :. x != n pi

Sendo n um número inteiro.

A gente pode juntar esse conjunto de ponto escrevendo que:

x != (n pi)/(2) , n = 0 , +- 1 , +- 2 , ...

Daí a gente vê que nossa função não é diferenciável nesse conjunto de pontos.

Passo 3

Se olharmos para a derivada, usando a regra do quociente e do produto:

f^' (x) = (0 * (s e n x cos x) - (s e n x cos x) ')/((s e n x cos x)^2) = (- (s e n x cos x) ')/((s e n x cos x)^2)

f^' (x) = (- cos^2 x + s e n^2 x)/((s e n x cos x)^2)

Temos o mesmo problema s e n x cos x != 0 , por estarmos trabalhando com uma fração. Por isso dizemos que nossa função é diferenciável para:

x != (n pi)/(2) , n = 0 , +- 1 , +- 2 , ...

Resposta

f ( x ) é diferenciável para x != n pi // 2 , n = 0 , +- 1 , +- 2 , ...

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