Enunciado

Seja f x = cos ⁡ x . Encontre todos os inteiros positivos n com os quais f n x = s e n   x .

Passo 1

A ideia aqui é que a gente precisa calcular sucessivamente a derivada dessa função, e tentar identificar um padrão. Com esse padrão, a gente consegue dizer para que valores de n , a derivada resulta no seno.

Passo 2

Vamos começar pela derivada de cosseno:

f ' x = - s e n   x

Agora vamos derivar a função de novo algumas vezes para ver no que dá:

f ' ' ( x ) = - s e n   x ' = - cos ⁡ x

f ' ' ' x = - cos ⁡ x ' = - - s e n   x = s e n   x

f ( 4 ) x = cos ⁡ x

Ih olha só, a gente acabou voltando para o cosseno. Se a gente continuar derivando, vamos passar por todas essas funções e chegar no cosseno de novo. Temos um padrão. Vamos a analisar melhor esse padrão.

Passo 3

Se a gente organizar nossas derivadas pelo número de vezes que a função cosseno foi derivada, assim: f x = cos ⁡ x ,     n = 0

f ( n ) x = f ' x = - s e n   x ,     n = 1

f ( n ) x = f ' ' x = - cos ⁡ x ,     n = 2

f ( n ) x = f ' ' ' x = s e n   x ,     n = 3

f ( n ) x = f ( 4 ) x = cos ⁡ x ,     n = 4

Vemos que encontramos a função cosseno de quatro em quatro vezes que derivamos a própria função cosseno. Agora vamos voltar para o nosso enunciado. Queremos saber para que valor de n , temos:

f n x = s e n   x

Se o cosseno se repete de quatro em quatro vezes, o seno também vai se repetir, mas começando a contar de n = 3 . Logo, os valores de n são:

n = 3 ,   7 ,   11 ,   15 , …

Ou seja, n = 3 + 4 k , sendo k qualquer número natural.

Ufa! Conseguimos!

Resposta

n = 3 ,   7 ,   11 ,   15 , …

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