Enunciado

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  1. Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.

Passo 1

A Fórmula (4) é essa relação aqui:

d d x cos ⁡ x = - s e n   x

Precisamos chegar nela, através da fórmulinha:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Ou seja, a gente quer calcular a derivada de cosseno pela definição de derivada.

Vamos começar!

Passo 2

Temos que:

f x = cos ⁡ x

E

f x + h = cos ⁡ x + h

Substituindo essas coisinhas na definição de derivada:

f ' x = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ ( x + h ) - cos ⁡ x h

Podemos abrir esse cosseno usando a identidade trigonométrica:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a c o s   b - s e n   a   s e n   b

Aí nossa continha fica assim:

f ' x = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x c o s   h - s e n   x   s e n   h - cos ⁡ x h

f ' x = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x   cos ⁡ h - 1 h - s e n   x   s e n   h h

Passo 3

Repara que essas coisinhas em parênteses são limites fundamentais:

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h = 0

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h = 1

Por isso, nossa derivada fica assim:

f ' x = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x ⋅ 0 - s e n   x ⋅ 1 = lim h → 0 ⁡ - s e n   x

A variável x é constante em relação ao limite, então achamos que:

f ' x = - s e n   x

Conseguimos!

Resposta

Dedução nos passos

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O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R
(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
Em cada item, determine onde f é diferenciável. f x = cos sec ⁡ x
Em cada item, determine onde f é diferenciável. f x = c o t g   x
Use a Fórmula (1), o formato alternativo para a definição de derivada