Enunciado

Em cada um dos Problemas 9 e 10 , encontre a solução do problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando t → ∞

x ' = 1 - 5 1 - 3 x ,     x 0 = 1 1

Passo 1

Descobrindo os autovalores dessa matriz nós teremos:

det ⁡ 1 - r - 5 1 - 3 - r = 0

1 - r - 3 - r + 5 = 0

r 2 + + 3 - 1 r - 3 + 5 = 0

r 2 + 2 r + 2 = 0

Resolvendo as raízes dessa equação nós temos:

r 1 ; r 2 = - 2 ± 4 - 4 × 2 2 = - 1 ± i

Passo 2

Vendo o autovetor para r = - 1 - i nós teremos:

1 + 1 + i - 5 1 - 3 + 1 + i ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

2 + i - 5 1 - 2 + i ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Aí pela segunda linha vemos que:

ξ 1 1 = 2 - i ξ 2 1

Então o auto vetor para esse sistema pode ser:

ξ 1 = 2 - i 1

Nos dando uma solução parecida com:

x 1 = 2 - i 1 e - 1 + i t = 2 - i 1 e - t   e - i t = 2 - i 1 e - t cos ⁡ t - i s e n   t

Arrumando essa matriz:

x 1 = 2 cos ⁡ t + s e n   t cos ⁡ t e - t + i 2 s e n   t - cos ⁡ t - s e n   t e - t

Cuja solução geral pode ser escrita como:

x = c 1 2 cos ⁡ t + s e n   t cos ⁡ t e - t + c 2 2 s e n   t - cos ⁡ t - s e n   t e - t

Passo 3

Agora aplicando a condição inicial na solução geral (aplicando t = 0 e ,     x 0 = 1 1 ) nós teremos:

1 = 2 c 1 - c 2

1 = c 1

Logo:

c 2 = 1

Nos dando então uma solução geral igual a:

x = 2 cos ⁡ t + s e n   t cos ⁡ t e - t + 2 s e n   t - cos ⁡ t - s e n   t e - t

x = cos ⁡ t + 3   s e n   t cos ⁡ t - s e n   t

Faça de outras formas, você vai chegar nesse resultado (espero :D)

Resposta

x = cos ⁡ t + 3   s e n   t cos ⁡ t - s e n   t

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