Enunciado

Em cada um dos Problemas 9 e 10 , encontre a solução do problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando t → ∞

x ' = - 3 2 - 1 - 1 x ,     x 0 = 1 - 2

Passo 1

Inicialmente vamos encontrar os autovalores dessa questão da forma como sempre encontramos:

det ⁡ - 3 - r 2 - 1 - 1 - r = 0

- 3 - r - 1 - r + 2 = 0

r 2 + 3 + 1 r + 3 + 2 = 0

r 2 + 4 r + 5 = 0

O que nos deixa com raízes iguais a:

r 1 ; r 2 = - 4 ± 16 - 4 × 5 2 = - 2 ± - 4 i 2 = - 2 ± i

Passo 2

Calculando o autovetor para r = - 2 - i nós teremos:

- 3 + 2 + i 2 - 1 - 1 + 2 + i ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

- 1 + i 2 - 1 1 + i ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

O que nos dará relações iguais a:

- 1 + i ξ 1 1 + 2 ξ 2 1 = 0

- ξ 1 1 + 1 + i ξ 2 2 = 0

Se colocarmos ξ 1 1 = 1 + i e ξ 2 2 = 1 , nós conseguiremos suprir as duas equações. Portanto o autovetor para essa equação será:

ξ 1 = 1 + i 1

Nos dando uma solução igual a:

x 1 = 1 + i 1 e - 2 + i t = 1 + i 1 e - 2 t   e - i t

x 1 = 1 + i 1 e - 2 t   cos ⁡ t - i s e n   t

Arrumando as coisas:

x 1 = cos ⁡ t + s e n   t cos ⁡ t e - 2 t + i - s e n   t + cos ⁡ t - s e n   t e - 2 t

Então podemos escrever a solução geral como:

x = c 1 cos ⁡ t + s e n   t cos ⁡ t e - 2 t + c 2 - s e n   t + cos ⁡ t - s e n   t e - 2 t

Passo 3

Agora vamos aplicar a solução inicial em t = 0 ou seja:

    x 0 = 1 - 2 = c 1 cos ⁡ 0 + s e n   0 cos ⁡ 0 e - 0 + c 2 - s e n   0 + cos ⁡ 0 - s e n   0 e - 0

1 = c 1 + c 2

- 2 = c 1

Então c 2 = 3 , deixando nossa solução geral como:

x = e - 2 t   - 2 cos ⁡ t - 2 s e n   t - 3 s e n   t + 3 cos ⁡ t - 2 cos ⁡ t - 3   s e n   t

x = e - 2 t cos ⁡ t - 5 s e n   t - 2 cos ⁡ t - 3 sen ⁡ t

Se fizermos pelo outro autovalor deveremos encontrar o mesmo resultado. E para t → ∞ tanto x 1 quanto x 2 tenderão a zero, por conta do termo e - 2 t  

Resposta

x = e - 2 t cos ⁡ t - 5 s e n   t - 2 cos ⁡ t - 3 sen ⁡ t

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