Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro α. Em cada um desses problemas:

(a) Determine os autovalores em função de α.

(b) Encontre o valor ou valores críticos de α em que muda a natureza qualitativa do retrato de fase para o sistema.

(c) Desenhe retratos de fase para um valor de α ligeiramente menor, e para outro valor ligeiramente maior, do que cada valor crítico.

x ' = 2 - 5 α - 2 x

Passo 1

Calculando os autovetores desse sistema nós temos:

det ⁡ 2 - r - 5 α - 2 - r = 0

2 - r - 2 - r + 5 α = 0

r 2 + 2 - 2 r - 4 + 5 α = 0

r 2 - 4 + 5 α = 0

r = ± 4 - 5 a

Passo 2

Aqui nós vemos o limiar entre um sistema com raízes reais e distintas para um com raízes puramente imaginárias e esse limiar acontece para

4 - 5 α = 0

α = 4 5

Resumindo quando α > 4 / 5 temos um sistema com raízes complexas e conjugadas e completamente oscilatória (pois faltará a parte real.

E quando α < 4 5 o sistema será instável com raízes reais e iguais pois sempre terá um autovalor positivo.

Passo 3

Quando α = 1 teremos:

Quando α = 0.6

α = 0.8

Resposta

a )   r = ± 4 - 5 a

b )   l i m i t e   α = 0.8 ; e x p l i c a ç ã o   d o   p a s s o   2

c )   I m a g e n s   d o   p a s s o   3

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Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 1 1 1 2 1 - 1
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 5 - 1 3 1 x
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 1 - 1 4 3 2 -
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 3 - 2 2 - 2 x
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 1 1 4 - 2 x