Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro α. Em cada um desses problemas:

(a) Determine os autovalores em função de α.

(b) Encontre o valor ou valores críticos de α em que muda a natureza qualitativa do retrato de fase para o sistema.

(c) Desenhe retratos de fase para um valor de α ligeiramente menor, e para outro valor ligeiramente maior, do que cada valor crítico.

x ' = 0 - 5 1 α x

Passo 1

Fazendo a determinante d e t ⁡ ( A - r I ) abaixo nós encontraremos os autovalores:

det ⁡ 0 - r - 5 1 α - r = 0

- α - r r + 5 = 0

r 2 - α r + 5 = 0

E as raízes dessa equação serão:

r 1 ; r 2 = α ± α 2 - 4 × 5 2

r 1 ; r 2 = α 2 ± α 2 - 20 2

Passo 2

Para termos raízes reais e iguais nós precisamos ter:

α 2 - 20 > 0

α 2 > 20

α > 20   e   α < - 20

Dois valores bons para teste são α = ± 5

E para termos raízes complexas precisaremos ter:

α 2 - 20 < 0

- 20 < α < 20

E com isso vamos testar três valores α = ± 4 e α = 0 só para ver mesmo.

Passo 3

Para α = ± 5 temos:

α = 5

α = - 5

α = - 4

α = 4

α = 0

α = 1

α = - 1  

Acho que já deu para entender hahaha

Resposta

a )   r 1 ; r 2 = α 2 ± α 2 - 20 2

b )   T r a n s i ç ã o   e m   a = ± 20

c )   I m a g e n s   d o   P a s s o   3

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