Enunciado

O método de aproximações sucessivas (veja a Seção 2.8) também pode ser aplicado a sistemas

de equações. Por exemplo, considere o problema de valor inicial

x ' = A x ,         x 0 = x 0

Em que A e´uma matriz constante e x 0 é um vetor dado.

a) Supondo que existe uma solução x   =   e ( t ) , mostre que ela tem que satisfazer a equação

integral

ϕ t = x 0 + ∫ 0 t A ϕ s   d s

b) Comece com a aproximação inicial e 0 ( t )   = x 0 . Substitua e (s) no lado direito da Eq. (ii)

por essa expressão e obtenha uma nova aproximação e 1 ( t ) . Mostre que

ϕ 1 t = I + A t x 0

c) Repita esse processo obtendo, assim, uma sequência de aproximações e ( 0 ) ,   e ( 1 ) ,   e ( 2 ) ,   .   .   .   ,   e ( n ) ,   .   .   .   Use um argumento indutivo para mostrar que.

ϕ n t = I + A t + A 2 r 2 2 ! + … + A n t n n ! x 0

d) Faça n → ∞ e mostre que a solução do problema de valor inicial (i) é

ϕ t = exp ⁡ A t x 0

Passo 1

a) Assumindo que x = ϕ t é uma solução, portanto podemos ter ϕ ' = A ϕ .

Tendo t = 0 , temos ϕ 0 = x 0 , e com esta equação integrando dos dois lados temos:

ϕ t - ϕ 0 = ∫ 0 t A ϕ s   d s

ϕ t = ϕ 0 + ∫ 0 t A ϕ s   d s

Como ϕ 0 = x 0 , temos:

ϕ t = x 0 + ∫ 0 t A ϕ s   d s

b) Prosseguindo com a integral anterior, perceba que temos:

ϕ i + 1 t = x 0 + ∫ 0 t A ϕ i s   d s

E como ϕ 0 t = x 0 , como dito no enunciado A é uma matriz constante, logo:

ϕ 1 t = x 0 + ∫ 0 t A x 0   d s = x 0 + A x 0 t

E isto é :

ϕ 1 t = I + A t x 0

Passo 2

c) Prosseguindo com oque temos:

Como:

ϕ 1 t = I + A t x 0

Temos:

ϕ 2 t = x 0 ∫ 0 t A I + A t x 0   d s = x 0 + A x 0 t + A 2 x 0 t 2 2  

ϕ 2 t = I + A t + A 2 t 2 2 x 0

Agora vamos generalizar esta equação para n ordens de sequencia:

ϕ n t = I + A t + A 2 t 2 2 + … + A n t n n ! x 0

Portanto isto implica que se aplicarmos ϕ n + 1 ,será:

ϕ n + 1 t = I + A t + A 2 t 2 2 + … + A n + 1 t n + 1   ( n + 1 ) ! x 0

Claro que assumindo que começamos de ϕ n t e é valido para n ≥ 0

Passo 3

d) definindo ϕ   ∞ t = lim n →  ∞ ⁡ ϕ n t . Este limite existe, desde que:

ϕ   ∞ t = e A t x 0

Derivando ϕ   ∞ t termo por termo, temos:

d ϕ   ∞ t d t = d d t I + A t + A 2 t 2 2 + … + A n t n n ! x 0

Isto implica que:

d d t ϕ   ∞ t = A ϕ   ∞ t

E além disto temos,   ϕ   ∞ 0 = x 0 , com base na única solução de ϕ t = ϕ   ∞ t .

Resposta

a) ϕ t = x 0 + ∫ 0 t A ϕ s   d s

b)

ϕ 1 t = I + A t x 0

c) ϕ n + 1 t = I + A t + A 2 t 2 2 + … + A n + 1 t n + 1   ( n + 1 ) ! x 0

d) d d t ϕ   ∞ t = A ϕ   ∞ t

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