Enunciado

Em cada um dos problemas de 7 a 10:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

(b) Desenhe a trajetória da solução no plano x 1 x 2   e desenhe, também, o gráfico de x 1 em função de t .

9.

X ' = 2 3 2 - 3 2 - 1 X ,                 X 0 = 3 - 2

Passo 1

L e t r a   A :

Beleza! Vamos então resolver esses sistema de EDO linear. Para isso, aqui está a matriz de coeficientes retirada do nosso sistema:

A = 2 3 2 - 3 2 - 1

E agora encontrar os seus autovalores λ !

det ⁡ A - λ I = 0

Bem, como A - λ I é apenas subtrair λ da diagonal principal...

det ⁡ 2 - λ 3 2 - 3 2 - 1 - λ = 0     →

Resolvendo o determinante...

2 - λ - 1 - λ - 3 2 - 3 2 = 0     →

- 2 - 2 λ + λ + λ 2 + 9 4 = 0     →

λ 2 - λ - 2 + 9 4 = 0     →

λ 2 - λ + 1 4 = 0     →

Resolvendo por Báskara...

λ = 1 2

A solução de um sistema de EDO com λ real e único:

x y = c 1 T 1 + c 2 T 2

Onde T 1 e T 2 são:

T 1 = v 1 e λ 1 t

T 2 = v 1 t e λ 1 t + v 2 e λ 2 t

Onde λ 1 = λ 2 = 1 2 . v 1 e v 2 são os autovalores determinados a partir de:

A - λ I v 1 = 0

A - λ I v 2 = v 1

Vamos então determinar esse autovetor v → !

Passo 2

Primeiro o autovalor v 1 :

Então para o λ 1 = 1 2 teremos v 1 de coordenadas desconhecidas a b :

A - λ 1 I v 1 = 0         →

A - λ 1 I a b = 0         →

Ora, sabemos que A - λ 1 I asta subtrair λ da diagonal:

2 - λ 3 2 - 3 2 - 1 - λ a b = 0         →

2 - 1 2 3 2 - 3 2 - 1 - 1 2 a b = 0       →

3 2 3 2 - 3 2 - 3 2 a b = 0       →

Essas duas linhas são Linearmente dependentes e sempre serão! Então, basta pegar a primeira linha e multiplicar com a coluna a b e igualar a 0 (produto de matrizes):

3 2 a + 3 2 b = 0   →

b = - a  

Se falarmos que a = 1 , então...

b = - 1  

Então um autovetor v 1 para λ 1 é:

v 1 = 1 - 1

Primeiro o autovalor v 2 :

Então para o λ 2 = 1 2 teremos v 2 de coordenadas desconhecidas a b :

A - λ 2 I v 2 = v 1         →

A - λ 2 I a b = 1 - 1         →

Ora, sabemos que A - λ 1 I asta subtrair λ da diagonal:

2 - λ 3 2 - 3 2 - 1 - λ a b = 1 - 1         →

3 2 3 2 - 3 2 - 3 2 a b = 1 - 1      

Essas duas linhas são Linearmente dependentes e sempre serão! Então, basta pegar a primeira linha e multiplicar com a coluna a b e igualar a 1 (produto de matrizes):

3 2 a + 3 2 b = 1   →

3 2 b = 1 - 3 2 a     →

3 b = 2 - 3 a

Se falarmos que a = 1 , então...

b = - 1 3  

Então um autovetor v 2 para λ 2 é:

v 2 = 1 - 1 3

Passo 3

x y = c 1 T 1 + c 2 T 2

Onde T 1 e T 2 são:

T 1 = 1 - 1 e 1 2 t

T 2 = 1 - 1 t e 1 2 t + 1 - 1 3 e 1 2 t

Então...

x y = c 1 1 - 1 e 1 2 t + c 2 1 - 1 t e 1 2 t + c 2 1 - 1 3 e 1 2 t

x = c 1 e 1 2 t + c 2 t e 1 2 t + c 2 e 1 2 t y = - c 1 e 1 2 t - c 2 t e 1 2 t - 1 3 c 2 e 1 2 t

Beleza! Então chegamos aqui na solução do nosso sistema! Bora encontra a solução particular dada os valores iniciais...

X 0 = 3 - 2

Passo 4

Esses valores iniciais significam que...

x 0 = 3

y 0 = - 2

Então substituindo o t por 0 ...

x 0 = c 1 e 0 + c 2 0 e 0 + c 2 e 0 y 0 = - c 1 e 0 - c 2 0 e 0 - 1 3 c 2 e 0   →

3 = c 1 + c 2 - 2 = - c 1 - 1 3 c 2   →

Resolvendo esse sisteminha em c ...

1 = 2 3 c 2       →

c 2 = 3 2

c 1 = 3 - c 2             →               c 1 = 3 - 3 2 = 3 2

Beleza! Agora é só substituir e simplificar:

x = c 1 e 1 2 t + c 2 t e 1 2 t + c 2 e 1 2 t y = - c 1 e 1 2 t - c 2 t e 1 2 t - 1 3 c 2 e 1 2 t   →

x = 3 2 e 1 2 t + 3 2 t e 1 2 t + 3 2 e 1 2 t y = - 3 2 e 1 2 t - 3 2 t e 1 2 t - 1 3 3 2 e 1 2 t     →

x = 3 e 1 2 t + 3 2 t e 1 2 t y = - 4 2 e 1 2 t - 3 2 t e 1 2 t  

Passo 5

L e t r a   B :

Usando algum aplicativo de plotagem de gráficos (por exemplo, o winplot), podemos plotar o gráfico de y × x implicitamente em funções de t :

E para o gráfico de x em função de t ...

Resposta

Letra A:

x = 3 e 1 2 t + 3 2 t e 1 2 t y = - 4 2 e 1 2 t - 3 2 t e 1 2 t  

Letra B:

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Considere o sistema com duas massas e três molas cujas equações de movimento são as Eqs.(22) no texto. Suponha que m 1=m 2=1 ,k 1=k 2=k 3=1 .(a) Como no texto, transforme o sistema em quatro equações
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