Enunciado

Considere o sistema com duas massas e três molas cujas equações de movimento são as Eqs.

(22) no texto. Suponha que m 1   =   m 2   =   1 ,   k 1   =   k 2   =   k 3   =   1 .

(a) Como no texto, transforme o sistema em quatro equações de primeira ordem da forma y ’ = A y . Determine a matriz de coeficientes A .

(b) Encontre os autovalores e autovetores de A .

(c) Escreva a solução geral do sistema.

(d) Descreva os modos fundamentais de vibração. Para cada modo fundamental, desenhe

gráficos de y1 e de y2 em função de t. Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos

planos y 1 y 3   e y 2 y 4 .

(e) Considere as condições iniciais y ( 0 )   =   – 1 ,   3 ,   0 ,   0 T . Calcule as constantes arbitrárias na

solução geral do item (c). Desenhe gráficos de y1 e de y2 em função de t. Você acha que a

solução é periódica? Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos planos y 1 y 3 e y 2 y 4 .

(f) Considere outras condições iniciais de sua escolha e desenhe gráficos semelhantes aos

pedidos no item (e).

Passo 1

e) vamos lá, temos a solução geral executada já no item (c) e agora temos um problema de valor inicial.

Temos que:

y 0 = - 1 3 0 0

Trazendo da solução do item (c):

y = c 1 cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n   t - s e n   t + c 2 s e n   t s e n   t cos ⁡ t cos ⁡ t + c 3 cos ⁡ 3 t - cos ⁡ 3 t - 3   s e n   3 t 3 s e n 3 t + c 4 s e n   3 t - s e n   3 t 3 cos ⁡ 3 t - 3 c o s 3 t

Aplicando y 0 , temos:

y 0 = c 1 1 1 0 0 + c 2 0 0 1 1 + c 3 1 - 1 0 0 + c 4 0 0 3 - 3 = - 1 3 0 0

E teremos o seguinte sistema:

c 1 + c 3 = - 1

c 1 - c 3 = 3

c 2 + 3 c 4 = 0

c 2 - 3 c 4 = 0

Resolvendo este sistema, por meio de substituição, temos as seguintes soluções:

c 1 = 1 ; c 2 = 0 ; c 3 = - 2 ; c 4 = 0

A solução será aperiódica, pois cos ⁡ t e s e n   t possuem períodos de 2 π e cos ⁡ 3 t e s e n 3 t possuem um período de 2 3 π .

Se os dois períodos se encontrassem nós teríamos:

m 2 π = n 2 3 π

Por algum fator m   e n , teríamos:

n m = 3

Oque seria um número irracional = um número racional, oque é uma contradição matemática.

Passo 2

Após o calculo do problema de valor inicial, temos que desenhar os gráficos das soluções, vamos lá.

Gráfico de y 1 × t :

Gráfico de y 2 × t :

Passo 3

Desenhando os gráficos das trajetórias, no plano y 1 y 3 :

Temos também a trajetória no plano y 2 y 4 :

Resposta

c 1 = 1 ; c 2 = 0 ; c 3 = - 2 ; c 4 = 0

A solução será aperiódica, pois cos ⁡ t e s e n   t possuem períodos de 2 π e cos ⁡ 3 t e s e n 3 t possuem um período de 2 3 π .

Se os dois períodos se encontrassem nós teríamos:

m 2 π = n 2 3 π

Por algum fator m   e n , teríamos:

n m = 3

Oque seria um número irracional = um número racional, oque é uma contradição matemática.

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