Enunciado

Considere o sistema com duas massas e três molas cujas equações de movimento são as Eqs.

(22) no texto. Suponha que m 1   =   m 2   =   1 ,   k 1   =   k 2   =   k 3   =   1 .

(a) Como no texto, transforme o sistema em quatro equações de primeira ordem da forma y ’ = A y . Determine a matriz de coeficientes A .

(b) Encontre os autovalores e autovetores de A .

(c) Escreva a solução geral do sistema.

(d) Descreva os modos fundamentais de vibração. Para cada modo fundamental, desenhe

gráficos de y1 e de y2 em função de t. Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos

planos y 1 y 3   e y 2 y 4 .

(e) Considere as condições iniciais y ( 0 )   =   – 1 ,   3 ,   0 ,   0 T . Calcule as constantes arbitrárias na

solução geral do item (c). Desenhe gráficos de y1 e de y2 em função de t. Você acha que a

solução é periódica? Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos planos y 1 y 3 e y 2 y 4 .

(f) Considere outras condições iniciais de sua escolha e desenhe gráficos semelhantes aos

pedidos no item (e).

Passo 1

b)Vamos encontrar agora os autovalores da nossa matriz A , utilizando esta relação:

det ⁡ A - r I = 0

0 0 1 0 0 0 0 1 - 2 1 0 0 1 - 2 0 0 - r 0 0 0 0 r 0 0 0 0 r 0 0 0 0 r = 0

- r 0 1 0 0 - r 0 1 - 2 1 - r 0 1 - 2 0 - r = 0

Passo 2

Vamos reduzir a matriz para encontramos seu determinante:

- r 0 1 0 0 - r 0 1 - 2 1 - r 0 1 - 2 0 - r = 0

- r 0 1 0 0 - r 0 1 0 1 - r 2 - 2 r 0 0 - 2 1 / r - r = 0

- - r 0 1 0 0 - r 0 1 0 0 1 / r - r 2 - 2 r 0 0 - r 2 - 2 r 1 / r = 0

- - r 0 1 0 0 - r 0 1 0 0 1 / r - r 2 - 2 r 0 0 0 - r 4 - 4 r - 3 r = 0

Com a matriz escalonada basta fazer o produto da diagonal principal que teremos o determinante:

r 2 + 1 r 2 + 3 = 0

Resolvendo esta equação temos que os autovalores

r 2 + 1 = 0

r = ±   - 1

r 1 = i

r 2 = - i

r 2 = - 3

r = ± - 3

r 3 = 3 i

r 4 = - 3 i

Passo 3

Agora que possuímos os autovalores vamos determinar os autovetores para cada um deles associados.

Assumindo que:

y = ξ e r t

- r 0 1 0 0 - r 0 1 - 2 1 - r 0 1 - 2 0 - r ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

Aplicando para r = ± i temos:

∓ i 0 1 0 0 ∓ i 0 1 - 2 1 ∓ i 0 1 - 2 0 ∓ i ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

Reduzindo a matriz temos:

∓ i 0 1 0 0 ∓ i 0 1 - 1 1 0 0 1 - 2 0 ∓ i ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

∓ i 0 1 0 0 ∓ i 0 1 - 1 1 0 0 1 - 1 0 0 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

∓ i 0 1 0 0 ∓ i 0 1 - 1 1 0 0 0 0 0 0 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

Resumindo o sistema para:

∓ i ξ 1 = - ξ 3

∓ i ξ 2 = - ξ 4

ξ 1 = ξ 2

Resultando nos seguintes autovetores:

ξ 1 = 1 1 i i

ξ 2 = 1 1 - i - i

Passo 4

- r 0 1 0 0 - r 0 1 - 2 1 - r 0 1 - 2 0 - r ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

Aplicando para r = ± i 3 temos:

∓ i 3 0 1 0 0 ∓ i 3 0 1 - 2 1 ∓ i 3 0 1 - 2 0 ∓ i 3 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

E lá vamos nós reduzir a matriz novamente:

∓ i 3 0 1 0 0 ∓ i 3 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

∓ i 3 0 1 0 0 ∓ i 3 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 = 0

Reduzindo o sistema em:

∓ i 3 ξ 1 = - ξ 3

∓ i 3 ξ 2 = - ξ 4

ξ 1 = - ξ 2

Para satisfazer esta equação temos que ξ 1 = 1 , ξ 2 = - 1 ,   ξ 3 = ± i 3 e ξ 4 = ∓ i 3

E o autovetor correspondente a i 3   é:

ξ 3 = 1 - 1 i 3 - i 3

E o autovetor associado a - i 3 :

ξ 4 = 1 - 1 - i 3 i 3

Resposta

b)

temos os autovalores:

r 1 = i

r 2 = - i

r 3 = 3 i

r 4 = - 3 i

E os autovetores:

ξ 1 = 1 1 i i ; ξ 2 = 1 1 - i - i ; ξ 3 = 1 - 1 i 3 - i 3 ; ξ 4 = 1 - 1 - i 3 i 3

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