Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.

9. F s = 1 - 2 s s 2 + 4 s + 5

Passo 1

Nesse caso vamos precisar reescrever a função para que alguma parte dela fique parecida com as funções das transformadas e das inversas tabeladas:

F s = 1 - 2 s s 2 + 4 s + 5 = 5 - 2 s + 2 s + 2 2 + 1

Pronto, agora a gente tem s + 2 que pode ser substituído por um ξ para ficar o seguinte:

5 - 2   ξ     ξ   2 + 1 = 5 1   ξ   2 + 1 - 2   ξ     ξ   2 + 1

Passo 2

Pela tabela sabemos que:

L 1 ξ 2 + 1 = s e n t

L ξ ξ 2 + 1 = c o s t

Mas a gente não pode substituir direto, já que fizemos aquela mudança de s + 2 para ξ .

Vamos então usar a seguinte relação:

L e a t f ( t ) = L f t s → s - a

Que é exatamente o que precisamos, podemos multiplicar os resultados que achamos que envolvem ξ por e a t , sendo que nesse caso a = - 1 . Nossa transformada inversa fica:

L - 1 F s ξ → s + 1 = L - 1 5 1   ξ   2 + 1 - 2   ξ     ξ   2 + 1 ξ → s + 2 = e - 2 t 5 s e n t - 2 c o s t

Podemos interpretar essa relação como um deslocamento da origem para a variável s , se ela se desloca em um valor de a unidades, podemos corrigir esse deslocamento multiplicando a nossa função pela exponencial, isso vale também para as transformadas inversas.

Resposta

L - 1 F ( s ) = e - 2 t 5 s e n t - 2 c o s t

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