Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.

10. F s = 2 s - 3 s 2 - 2 s + 10

Passo 1

Beleza, começamos reescrevendo a função para que ela fique parecida com as relações que podemos encontrar nas tabelas de transformadas:

F s = 2 s + 1 - 5 s + 1 2 + 9

O máximo que a gente pode fazer com o denominador é completar quadrados, como temos s + 1 2 no denominador, reescrevemos o numerador para que tenha também algo parecido.

Passo 2

Agora fazemos a seguinte substituição ξ = s + 1 , F ( s ) vai ficar:

F s = 2 ξ - 5 ξ 2 + 9 = 2 ξ ξ 2 + 9 - 5 ξ 2 + 9

Repare que pela tabela de transformadas e inversas tem algo muito parecido com a nossa função:

L a s 2 + a 2 = s e n t

L s s 2 + a 2 = c o s t

O que fica:

L - 1 2 ξ ξ 2 + 9 - 5 ξ 2 + 9 = 2 c o s 3 t - 5 3 s e n 3 t

A questão é que precisamos considerar a substituição que a gente fez, as transformadas inversas da tabela são sobre funções de s e não de s + 1 que é o nosso caso. Vamos então usar a relação:

L e a t f ( t ) = L f t s → s - a

A gente pode traduzir da seguinte maneira, a transformada de uma função em que s está deslocado em a unidades é igual à mesma transformada da função vezes e a t sem o deslocamento, que é o que está acontecendo para a gente. Nossa transformada inversa fica:

L - 1 F s s → s - 1 = L - 1 2 ξ ξ 2 + 3 2 - 5 ξ 2 + 3 2 s → s - 1 = e - t 2 c o s 3 t - 5 3 s e n 3 t

Já que a = 1 .

Resposta

L - 1 F ( s ) = e - t 2 c o s 3 t - 5 3 s e n 3 t

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