Enunciado

Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.

13. y ' ' - 2 y ' + 2 y = 0 ;     y 0 = 0 ;     y ' 0 = 1

Passo 1

A transformada na EDO fica o seguinte:

L y ' ' - 2 y ' + 2 y

E ao aplicarmos a linearidade:

L y ' ' + 3 y ' + 2 y = L y ' ' - 2 L y ' + 2 L y

Ou seja, a transformada das somas é igual à soma das transformadas.

Pelo teorema 6.2.1, as transformadas das derivadas podem ser escritas como:

L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

2 L y ' = 2 ( s Y s - y 0 )

2 L y = 2 Y ( s )

Onde Y é a transformada da função y ( t ) .

Juntando tudo a equação fica:

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 - 2 s Y s - y 0 + 2 Y s = 0

Passo 2

Como alguns termos são a função de y no ponto 0 , podemos substituir elas pelos valores das condições iniciais dados no enunciado:

s 2 Y s - 1 - 2 s Y s + 2 Y s = 0

s 2 Y s - 2 s Y s + 2 Y s - 1 = 0

Então podemos isolar Y ( s ) :

Y s s 2 - 2 s + 2 = 1

Y s = 1 s 2 - 2 s + 2

Passo 3

Como da maneira que está não tem nenhum valor correspondente para a transformada inversa na tabela, vamos precisar reescrever o denominador de maneira irredutível:

Y s = 1 s - 1 2 + 1

Agora fazemos uma substituição ξ = s - 1 . Assim:

Y s = 1 ξ 2 + 1

Se repararmos, ela é muito parecida com a seguinte inversa:

1 s 2 + 1 = s e n t

Mas a nossa transformada está em relação a s - 1 e não a s como na tabela, então precisamos aplicar o seguinte:

L e a t f ( t ) = L f t s → s - a

Ou seja, se houver um deslocamento a na variável s , podemos compensar isso multiplicando a nossa f ( t ) por e a t . A transformada inversa fica:

y t = L - 1 1 s - 1 2 + 1 = e t s e n t

Com a = 1

Essa vai ser nossa solução.

Resposta

y t = e t s e n t

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