Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 10:

(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x = 0 .

(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.

(c) Encontre a solução em série ( x > 0 ) correspondente à maior raiz.

(d) Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em serie correspondente à menor raiz.

7. x y ' ' + 1 - x y ' - y = 0

Passo 1

a) Quando x = 0 , o primeiro termo zera, para mostrarmos que esse ponto é singular, reescrevemos a equação diferencial como:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Onde:

P x = x

Q x = 1 - x

R x = - 1

Dividindo a equação por P ( x ) e multiplicando por x 2 , ficamos com:

x 2 y ' ' + x x Q x P x y ' + x 2 R x P x y = 0

Agora fazemos o limite das duas razões para x → 0 :

lim x → 0 ⁡ x Q x P x = lim x → 0 ⁡ x ( 1 - x ) x = lim x → 0 ⁡ 1 - x = 1

lim x → 0 ⁡ x 2 R x P x = lim x → 0 ⁡ x 2 ( - 1 ) x = lim x → 0 ⁡ - x = 0

Como os dois limites são finitos, isso significa que ambos são analíticos em x = 0 , ou seja, o ponto é singular regular.

Passo 2

b) Vamos começar usando uma solução de série de polinômios:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x r + n

Com derivadas:

y ' = ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) x r + n - 1

y ' ' = ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n - 2

Substituindo elas na equação diferencial:

x ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n - 2 + 1 - x ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) x r + n - 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

Resolvendo os produtos entre as séries e os termos de fora:

∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) x r + n - 1 - ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) x r + n - ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

Como algumas séries dependem de x r + n - 1 e outras de x r + n , vamos agrupá-las:

∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n ) x r + n - 1 - ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n + 1 ) x r + n = 0

Multiplicando tudo por x , porque não podemos ter termos negativos nos expoentes dos polinômios:

∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n ) x r + n - ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n + 1 ) x r + n + 1 = 0

Bom, precisamos escrever tudo em termos de uma série só, mas como os expoentes dos polinômios diferem, vamos deslocar as duas séries para n = 1 , ao fazermos isso, como a primeira série não tem o primeiro termo, não acontece nada, mas na segunda, que tem, vamos precisar escrever ele por fora:

a 0 r 2 x r + ∑ n = 1 ∞ [ a n r + n 2 - a n - 1 ( r + n + 1 ) ] x r + n = 0

Supondo que a 0 ≠ 0 , a única maneira do termo de fora satisfazer a igualdade é para x = 0 ou quando r 2 = 0 , mas como queremos para todo x e não somente para um ponto, então isso só é possível se:

r 2 = 0

Para qualquer que seja o valor dos termos do polinômio, essa é nossa equação indicial. As raízes então serão:

r 1 = r 2 = 0

A nossa relação de recorrência vai ser:

a n r + n 2 - a n - 1 r + n - 1 = 0

a n = a n - 1 r + n + 1 r + n 2

Substituindo nossa raiz r = 0 :

a n = a n - 1 n + 1 n 2

Escrevendo a n em termos de a 0 :

a n = a 0 n + 1 ! n ! 2

Essa será nossa relação de recorrência.

Passo 3

c) Substituindo r = 0 e a n , omitindo a 0 , a nossa solução y que supomos antes é:

y = 1 + ∑ n = 1 ∞ n + 1 ! n ! 2 x n

Como nossa séria agora começa em n = 1 , por conta de precisarmos ter deslocado o índice uma vez. A gente ainda precisa considerar o termo quando n = 0 , já que supomos uma solução partindo de n = 0 . Por isso somamos 1 por fora da série.  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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