Enunciado

O polinômio de Legendre P n ( x ) é definido como a solução polinomial da equação de Legendre

com α   =   n que satisfaz, também, a condição P n ( 1 )   =   1 .

a) Usando os resultados do Problema 23, encontre os polinômios de Legendre P 0 ( x ) ,   . . . ,   P 5 ( x ) .

b) Faça os gráficos de P 0 ( x ) ,   . . . ,   P 5 ( x ) para – 1   ≤   x   ≤   1 .

c) Encontre os zeros de P 0 ( x ) ,   . . . ,   P 5 ( x ) .

Passo 1

c)Para determinarmos os zeros dos polinômios que encontramos teremos que resolver o polinômio. Em outras palavras vamos encontrar suas raízes.

Passo 2

Para P 0 não temos raízes pois ele é igual a zero.

Para P 1 , temos uma raiz que é igual a zero.

Para P 2 , temos:

- 1 2 + 3 2 x 2 = 0

3 2 x 2 = 1 2

x 2 = 1 3

x = ± 1 3

Para P 3 , temos:

- 3 2 x + 5 2 x 3 = 0

x - 3 2 + 5 2 x 2 = 0

Umas raiz será igual 0 , resolvendo a equação do segundo grau:

- 3 2 + 5 2 x 2 = 0

5 2 x 2 = 3 2

x 2 = 3 5

x = ± 3 5

Para P 4 , temos:

3 8 - 15 4 x 2 + 35 8 x 4

Tendo t = x 2 , fica:

3 8 - 15 4 t + 35 8 t 2 = 0

35 t 2 - 30 t + 3 = 0

t 1,2   = 30 ± 900 - 420 70 = 30 ± 4 30 70 = 15 ± 2 30 35

Voltando para função x , temos:

x 1,2   2 = 15 + 2 30 35 , x 3,4   2 = 15 - 2 30 35

Para P 5 , temos:

15 8 x - 35 4 x 3 + 63 8 x 5 = 0

x 15 8 - 35 4 x 2 + 63 8 x 4 = 0

Temos uma raízes igual a zero e substituindo x 2 = t , teremos:

15 8 - 35 4 t + 63 8 t 2 = 0

63 t 2 - 70 t + 15 = 0

t 1,2   = 70 ± 4900 - 3780 126 = 70 ± 4 70 126 = 35 ± 2 70 63

Voltando para x :

x 1,2   2 = 35 + 2 70 63 , x 3,4   2 = 35 - 2 70 63

Resposta

c)Para P 0 não temos raízes.

Para P 1 , uma raiz igual a zero.

Para P 2 , x = ± 1 3

Para P 3 ,

x = ± 3 5

Para P 4 ,

x 1,2   2 = 15 + 2 30 35 , x 3,4   2 = 15 - 2 30 35

Para P 5 ,

x 1,2   2 = 35 + 2 70 63 , x 3,4   2 = 35 - 2 70 63

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