Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 18
Em cada um dos problemas de a , encontre a solução geral da equação diferencial dada.
18.
Passo 1
Primeira coisa, devemos montar a equação característica baseado na EDO:
Primeiro observe que gera para a gente duas raízes iguais a :
Agora se quem for for o termo do parênteses:
Certamente teremos raízes daí que serão complexas! Vamos calculá-las?
Passo 2
Primeiro, devemos transformar em um número complexo:
Afinal e . Como qualquer múltiplo de é também e para o cosseno e seno...
Pela notação de Euler então...
Beleza! Como queremos achar as raízes complexas de , então...
Transformando para cosseno e seno então...
Fazendo então , e , ...
- Para o :
- Para ...
- Para ...
- Para ...
Calculando esses senos e cossenos...
Calculando esses senos e cossenos...
Calculando esses senos e cossenos...
Então essas são as raízes complexas tal que são...
Passo 3
Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de . Vamos nessa?
- Para como ele é real...
- Para como ele é real e igual ao anterior, devemos colocar um na frente...
- Para como ele é real...
- Para como ele é real...
- Para como ele é imaginário ...
- Para como ele é imaginário ...
A solução geral então pode ser dada por...
Onde ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!
Resposta
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