Enunciado

Em cada um dos problemas de 14 a 20, encontre os autovalores e autofunções do problema de valores de contorno dado. Suponha que todos os autovalores são reais.

y ' ' + λ y ' = 0                     ; y ' 0 = 0 ; y L = 0

Passo 1

Para encontrar os valores próprios e as funções próprias do problema de valor limite fornecido

Suponha que todos os autovalores sejam reais.

Deixe a equação de características padrão para y ' ' + λ y = 0 .

r 2 + λ = 0

Agora resolvendo a equação para λ >   0 , então λ = μ 2 . Portanto, a solução geral para essa condição será:

y x = c 1 cos ⁡ μ x + c 2 sen ⁡ μ x

Diferenciando, temos:

y ' x = - μ c 1 sen ⁡ μ x + μ c 2 cos ⁡ μ x

Agora, aplicando a primeira condição de contorno, teremos y ' 0 = 0 . Então:

y ' 0 = - μ c 1 sen ⁡ 0 + μ c 2 cos ⁡ 0

c 2 = 0

A próxima condição será quando y L = 0 , então:

y L = c 1 cos ⁡ ( μ L )

cos ⁡ μ L = 0

μ L = 2 n - 1 π 2

Em termos de L :

L = 2 n - 1 π 2 L

Passo 2

Agora resolvendo mais para λ = 0 .

A solução geral para essa condição será:

y = c 1 x + c 2

Diferenciando temos:

y ' = c 1

Agora, quando y ' 0 = 0 , então c 1 = 0 . Da mesma forma que se y L = 0 = c 2 . Se a solução geral é y = 0 não temos autovalores possíveis para essa condição.

Passo 3

Quando λ < 0 , teremos também   λ = μ 2 . A solução geral será dada por: y x = c 1 cos ⁡ h μ x + c 2 sen ⁡ h μ x

Diferenciando, temos:

y ' x = - μ c 1 sen ⁡ h μ x + μ c 2 cos ⁡ h μ x

Quando y ' 0 = 0 , então :

y ' ( 0 ) = - μ c 1 sen ⁡ h μ 0 + μ c 2 cos ⁡ h μ 0

c 2 = 0

Então y L = 0 , teremos:

y L = c 1 cos ⁡ h μ L = 0

Então aqui μ ≠ 0 teremos c 1 = 0 .

A solução geral será y   =   0 .

Portanto, o autovalor final para a função fornecida é:

λ n = μ n 2 = 2 n - 1 π 2 L 2

O autovalor será dado por:

y L = cos ⁡ h μ L = 0

y n = cos ⁡ 2 n - 1 π 2 L

Resposta

λ n = μ n 2 = 2 n - 1 π 2 L 2

y n = cos ⁡ 2 n - 1 π 2 L

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