Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12:

(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada

(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.

9. x 2 1 - x y ' ' - ( 1 + x ) y ' + 2 x y = 0

Passo 1

a) Bom, teremos duas singularidades, uma em x = 0 e outra em x = 1 , porque elas zeram o primeiro termo na equação. Para sabermos se x = 0 é uma singularidade, escrevemos a equação diferencial como:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Então dividimos tudo por P ( x ) e multiplicamos por x 2 :

x 2 y ' ' + x x Q x P x y ' + x 2 R x P x y = 0

Sendo que:

P x = x 2 ( 1 - x )

Q x = - ( 1 + x )

R x = 2 x

Agora aplicamos o limite para x → 0 sobre os termos que envolvem P ( x ) no denominador, porque assim podemos analisar se o limite diverge ou não, se divergir, a singularidade é irregular. Assim:

p 0 = lim x → 0 ⁡ x Q x P x = lim x → 0 ⁡ - x ( 1 + x ) x 2 ( 1 - x ) = lim x → 0 ⁡ - ( 1 + x ) x ( 1 - x ) → ∞

q 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 R x P x = lim x → 0 ⁡ x 2 ( 2 x ) x 2 ( 1 - x ) = lim x → 0 ⁡ ( 2 x ) ( 1 - x ) = 0

Apesar de um limite convergir, o outro diverge, o que significa que o ponto x = 0 é uma singularidade irregular.

Para x = 1 , a gente repete tudo, a única diferença vai ser na hora de multiplicar, invés de multiplicarmos por x 2 , vamos multiplicar por x - 1 2 , a equação fica o seguinte:

( x - 1 ) 2 y ' ' + ( x - 1 ) ( x - 1 ) Q x P x y ' + ( x - 1 ) 2 R x P x y = 0

E os limites:

p 0 = lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) Q x P x = lim x → 1 ⁡ - ( 1 + x ) ( x - 1 ) x 2 ( 1 - x ) = lim x → 1 ⁡ ( 1 + x ) ( 1 - x ) x ( 1 - x ) = lim x → 1 ⁡ ( 1 + x ) x = 2

q 0 = lim x → - 1 ⁡ ( x - 1 ) 2 R x P x = lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) 2 ( 2 x ) x 2 ( 1 - x ) = lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) 2 ( 2 x ) x 2 ( 1 - x ) = lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) ( x - 1 ) ( 2 x ) x 2 ( 1 - x )

q 0 = lim x → 1 ⁡ - ( 1 - x ) ( x - 1 ) ( 2 x ) x 2 ( 1 - x ) = lim x → 1 ⁡ - ( x - 1 ) ( 2 x ) x 2 = 0

Como os dois são finitos, isso significa que esse ponto é singular regular.

Passo 2

b) A equação indicial pode ser escrita da seguinte forma:

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

Então a gente substitui p 0 e q 0 calculados para x = 1 :

r r - 1 + 2 r = 0

r 2 + r = 0

As raízes serão:

r = ± i

E elas serão os expoentes na singularidade.

Resposta

a   x = 1

b   r 2 + r = 0

r = ± i

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