Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 10:

(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x = 0 .

(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.

(c) Encontre a solução em série ( x > 0 ) correspondente à maior raiz.

(d) Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em serie correspondente à menor raiz.

9. x 2 y ' ' - x ( x + 3 ) y ' + ( x + 3 ) y = 0

Passo 1

a) Sabemos que quando x = 0 o primeiro termo da equação zera. Vamos reescrever essa equação desse jeito:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Sendo que:

P x = x 2

Q x = - x ( x + 3 )

R x = x + 3

E dividir tudo por P ( x ) :

y ' ' + Q x P x y ' + R x P x y = 0

Agora que a gente tem a parte da equação que causa a singularidade no denominador, fica mais fácil sabermos se ela é regular ou não, basta aplicarmos o limite, mas antes vamos multiplicar toda a função por x 2 :

x 2 y ' ' + x x Q x P x y ' + x 2 R x P x y = 0

Aplicando limite para a singularidade nas duas razões:

lim x → 0 ⁡ x Q x P x = lim x → 0 ⁡ - x 2 ( x + 3 ) x 2 = lim x → 0 ⁡ - x - 3 = - 3

lim x → 0 ⁡ x 2 R x P x = lim x → 0 ⁡ x 2 ( x + 3 ) x 2 = lim x → 0 ⁡ x + 3 = 3

Como os dois limites são finitos, o ponto é singular regular.

Passo 2

b) Para podermos determinar a equação indicial e suas raízes, vamos precisar usar a solução por série:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x r + n

E suas derivadas:

y ' = ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) x r + n - 1

y ' ' = ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n - 2

Na equação diferencial.

Vai ficar assim:

x 2 ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n - 2 - x ( x + 3 ) ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) x r + n - 1 + ( x + 3 ) ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

Resolvendo os produtos que estão do lado de fora dos somatórios:

∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n - ( x + 3 ) ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) x r + n + x + 3 ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n - ∑ n = 0 ∞ a n r + n x r + n + 1 - 3 ∑ n = 0 ∞ a n r + n x r + n + ∑ n = 0 ∞ a n x r + n + 1 + 3 ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

Como um dos termos tem expoente + 1 , quando n = 0 , a potência de x já começa em 1 , então podemos deslocar o índice uma vez:

∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n - ∑ n = 1 ∞ a n - 1 r + n - 1 x r + n - 3 ∑ n = 0 ∞ a n r + n x r + n + ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x r + n + 3 ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

Só que como queremos juntar tudo num somatório só, vamos deslocar o índice dos outros termos. Isso faz com que a gente precise colocar o termo de n = 0 do lado de fora:

a 0 r r - 4 + 3 x r + ∑ n = 1 ∞ { a n r + n r + n - 4 + 3 - a n - 1 r + n - 2 } x r + n = 0

Passo 3

A gente precisa que a equação seja igual a zero para todo x , a única maneira disso ser verdade é se os coeficientes que multiplicam cada potência seja zero, mas como estamos supondo que a 0 ≠ 0 , a única coisa que pode ser zero então é:

r r - 4 + 3 = 0

r 2 - 4 r + 3 = 0

Essa vai ser nossa equação indicial, e as raízes serão:

r = 4 ± 4 2

r 1 = 3

r 2 = 1

Passo 4

Com elas, podemos encontrar a relação de recorrência, já que o termo de dentro do somatório também precisa ser zero:

a n r + n r + n - 4 + 3 - a n - 1 r + n - 2 = 0

Isolando a n :

a n = a n - 1 r + n - 2 r + n r + n - 4 + 3

Reescrevendo:

a n = a n - 1 r + n - 2 ( r + n - 1 ) ( r + n - 3 )

Agora substituímos as nossas raízes, começamos com r 1 = 3 :

a n = a n - 1 n + 1 n ( n + 2 )

E a recorrência fica:

a n = a n - 1 n + 1 n ( n + 2 ) = a n - 2 ( n - 1 ) ( n + 2 ) = … = 2 a 0 n ! ( n + 2 )

Passo 5

c) As soluções diferem por um inteiro, o que significa que só precisamos da solução que corresponde à maior raiz. Pegando a solução que supomos la no Passo 2:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x r + n

Substituindo r 1 e a n :

y x = x 3 1 + ∑ n = 1 ∞ 2 a 0 n ! n + 2 x n

Sem esquecer que o somatório agora começa em n = 1 , e por isso precisamos colocar algo somando do lado de fora que corresponde ao n = 0 , isso aconteceu porque durante os passos, a gente precisou deslocar uma vez o índice, lembra?

E o x 3 do lado de fora é por causa da nossa raíz da equação indicial que substituímos na resposta.

Resposta

b )   r 2 - 4 r + 3 = 0

r 1 = 3

r 2 = 1

a n = 2 a 0 n ! ( n + 2 )

c )   y x = x 3 1 + ∑ n = 1 ∞ 2 a 0 n ! n + 2 x n

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