Enunciado

A equação de Legendre de ordem α é:

1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' + α α + 1 y = 0

A solução dessa equação perto do ponto ordinário x = 0 foi discutida nos Problemas 22 e 23 da Seção 5.3. O Exemplo 4 da Seção 5.4 mostrou que x = ± 1 são pontos singulares regulares. a) Determine a equação indicial e suas raízes para o ponto x = 1

b) Encontre a solução em série de potências de x - 1 para x - 1 > 0 .

Sugestão: Escreva 1 + x = 2 + x - 1 e x = 1 + ( x - 1 ) . Outra maneira é fazer a mudança de variável x - 1 = t e determinar a solução em série de potências de t .

Passo 1

a) Bom, como já sabemos que a equação tem pontos singulares regulares em x = 1 , vamos encontrar p 0 e q 0 aplicando os limites para x → 1 , sendo que:

P x = 1 - x 2

Q x = - 2 x

R x = α ( α + 1 )

Aplicando o limite:

p 0 = lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) Q x P x = lim x → 1 ⁡ - ( x - 1 ) 2 x ( 1 - x 2 ) = lim x → 1 ⁡ - ( x - 1 ) 2 x 1 + x ( 1 - x )

p 0 = lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) 2 x x + 1 ( x - 1 ) = lim x → 1 ⁡ 2 x 1 + x = 1

q 0 = lim x → 1 ⁡ x - 1 2 R x P x = lim x → 1 ⁡ x - 1 2 α ( α + 1 ) 1 - x 2 = lim x → 1 ⁡ x - 1 2 α ( α + 1 ) ( 1 + x ) ( 1 - x )

q 0 = lim x → 1 ⁡ - x - 1 2 α ( α + 1 ) ( 1 + x ) ( x - 1 ) = lim x → 1 ⁡ - ( x - 1 ) α ( α + 1 ) ( 1 + x ) = 0

Passo 2

Agora usamos a relação para a equação indicial:

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

E substituímos p 0 e q 0 :

r r - 1 + r = 0

r 2 = 0

As raízes serão:

r 1 = r 2 = 0

Passo 3

b) Fazendo a substituição sugerida no enunciado x - 1 = t , e u t = y ( t + 1 ) nossa equação de Legendre fica:

t 2 + 2 t u ' ' - ( 2 t + 2 ) u ' + α α + 1 u = 0

E agora podemos usar uma solução em série do tipo:

u ( t ) = ∑ n = 0 ∞ a n t r + n

E suas derivadas:

u ' = ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) t r + n - 1

u ' ' = ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) t r + n - 2

Na equação.

Vai ficar:

t 2 + 2 t ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) t r + n - 2 - ( 2 t + 2 ) ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) t r + n - 1 + α α + 1 ∑ n = 0 ∞ a n t r + n = 0

Resolvendo os produtos:

∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) t r + n - 2 ∑ n = 0 ∞ a n r + n r + n - 1 t r + n - 1 - 2 ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) t r + n + 2 ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) t r + n - 1 + α α + 1 ∑ n = 0 ∞ a n t r + n = 0

Juntando algumas séries:

∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) t r + n - 2 a n r + n t r + n + α α + 1 a n t r + n + ∑ n = 0 ∞ - 2 a n r + n r + n - 1 t r + n - 1 + 2 a n r + n t r + n - 1 = 0

Ao ajustarmos o segundo somatório, precisamos pôr um termo para fora:

- 2 a 0 r r - 1 t r - 1 + 2 a 0 r t r - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n r + n r + n - 1 t r + n - 2 a n r + n t r + n + α α + 1 a n t r + n - 2 a n + 1 r + n + 1 r + n t r + n + 2 a n + 1 r + n + 1 t r + n = 0

Reescrevendo:

2 a 0 r r - 1 t r - 1 + 2 a 0 r t r - 1 + ∑ n = 0 ∞ [ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) - 2 a n r + n + α α + 1 a n - 2 a n + 1 r + n + 1 r + n + 2 a n + 1 r + n + 1 ] t r + n = 0

Passo 4

Como cada coeficiente deve ser zero para satisfazer a igualdade para todo x , então:

- 2 a 0 r r - 1 t r - 1 + 2 a 0 r t r - 1 = 0

- 2 r r - 1 + 2 r = 0

- 2 r 2 + 2 r + 2 r = 0

2 r 2 - 4 r = 0

2 r r - 2 = 0

r 1 = 0

r 2 = 2

Para a relação de recorrência, vamos usar os termos de dentro da série:

a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) - 2 a n r + n + α α + 1 a n - 2 a n + 1 r + n + 1 r + n + 2 a n + 1 r + n + 1 = 0

Isolando a n + 1 :

- 2 a n + 1 r + n + 1 r + n - 1 = a n [ r + n r + n - 1 + 2 r + n + α α + 1 ]

a n + 1 = - a n [ r + n r + n - 1 + 2 r + n - α α + 1 ] 2 r + n + 1 r + n - 1

Com a raiz r 1 = 0 :

a n + 1 = - a n [ n n - 1 + 2 n - α α + 1 ] 2 ( n + 1 ) ( n - 1 ) = a n [ n n + 1 - α α + 1 ] 2 ( n + 1 ) ( n - 1 )

Mudando os índices de n + 1 para n :

a n = [ n n - 1 + α α + 1 ] 2 n ( n - 2 ) a n - 1

Escrevendo em relação a a 0 a gente tem:

a n = - 1 n α α + 1 α α + 1 - 1 … [ α α + 1 - n n - 1 ] 2 n n ! n - 2 ! a 0

E agora é só substituir na nossa solução u junto com a raiz r 1 que achamos:

u t = 1 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n α α + 1 α α + 1 - 1 … [ α α + 1 - n n - 1 ] 2 n n ! n - 2 ! t n

Voltando para a variável x :

y 1 x = 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n α α + 1 α α + 1 - 1 … [ α α + 1 - n n - 1 ] 2 n n ! n - 2 ! ( x - 1 ) n

Passo 5

Agora para a outra solução, usamos a raiz r 2 = 2 :

a n + 1 = - a n [ n + 3 n + 1 + 2 n + 2 - α α + 1 ] 2 n + 3 n + 1

Subtraindo em 1 todos os n :

a n = - a n - 1 [ n n + 2 + 2 n + 1 - α α + 1 ] 2 n n + 2

Escrevendo em termos de a 0 fica:

a n = - 1 n α α + 1 - 7 … [ α α + 1 - n n + 2 - 2 n + 1 ] 2 n n ! n + 2 ! a 0

Substituindo na nossa solução u :

u t = t 2 1 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n α α + 1 - 7 … α α + 1 - n n + 2 - 2 n + 1 2 n n ! n + 2 ! t n

Voltando para a variável x :

y 2 x =

( x - 1 ) 2 1 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n α α + 1 - 7 … α α + 1 - n n + 2 - 2 n + 1 2 n n ! n + 2 ! ( x - 1 ) n

Repare que omitimos a 0 nas duas soluções

Resposta

a )   r 2 = 0

r 1 = r 2 = 0

b )   y 1 x = 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n α α + 1 α α + 1 - 1 … [ α α + 1 - n n - 1 ] 2 n n ! n - 2 ! ( x - 1 ) n

y 2 x =

( x - 1 ) 2 1 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n α α + 1 - 7 … α α + 1 - n n + 2 - 2 n + 1 2 n n ! n + 2 ! ( x - 1 ) n

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