Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6, use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.

1.

y ' ' ' + y ' = tan ⁡ t ,     - π 2 < t < π 2

Passo 1

Peguemos a equação ordinária dada no problema:

y ' ' ' + y ' = tan ⁡ t ,     - π 2 < t < π 2

Pensando nela, vamos encontrar nossa equação característica, que terá o seguinte formato:

p r = r 3 + r = 0

r ( r 2 + 1 ) = 0

Temos portanto que:

r = 0

E da expressão entre parênteses:

r 2 + 1 = 0

r 2 =   - 1

r = ± i

Assim, teremos as seguintes raízes:

r 1 = 0

r 2 = i

r 3 = - i

Passo 2

Agora observem que como a equação ordinária dada no exercício, não está igualada a zero, temos um exemplo de EDO não homogênea. Então como temos uma raiz real e distinta e duas raízes complexas, teremos a seguinte homogênea associada:

y t = C 1 + C 2 cos ⁡ t + C 3 sen ⁡ t

Passo 3

Agora precisamos encontrar a nossa solução particular utilizando o método de variação dos parâmetros.

Dicazinha:É possível montar a solução particular, apenas trocando as constantes C n da homogênea associada, por outros parâmetros, aqui escolhi u n .

Y p = u 1 + u 2 cos ⁡ t + u 3 sen ⁡ t

Agora precisamos montar um sistema de matrizes:

y 1 u 1 ' + y 2 u 2 ' + … + y n u n ' = 0

y 1 ' u 1 ' + y 2 ' u 2 ' + … + y n ' u n ' = 0

y 1 ' ' u 1 ' + y 2 ' ' u 2 ' + … + y n ' ' u n ' = 0

y 1 n - 1 u 1 ' + … + y n n - 1 u n ' = g

Trazendo para o nosso exemplo isso ficaria da seguinte forma:

u 1 ' 1 + u 2 ' cos ⁡ t + u 3 ' sen ⁡ t = 0         ( 1 )

u 1 ' 0 - u 2 ' sen ⁡ t + u 3 ' cos ⁡ t = 0       ( 2 )

u 1 ' 0 - u 2 ' cos ⁡ t - u 3 ' sen ⁡ t = tan ⁡ t     ( 3 )

Vem comigo que você já vai entender! A lógica aqui é a seguinte... Repare que coloquei na equação (1), a seguinte expressão:

u 1 ' 1 + u 2 ' cos ⁡ t + u 3 ' sen ⁡ t = 0

Aqui foi feito, somente a derivação das funções u 1 ,   u 2   e   u 3 , você deve sempre fazer isso partindo da solução particular e seguindo a forma para montagem do sistema de matrizes. Os termos y 1 ,   y 2   a t é   y n ,   o n d e   n o   n o s s o   c a s o   t e m o s   n = 3   ,   s ã o :

y 1 = 1

y 2 = cos ⁡ t

y n = y 3 = sen ⁡ t

Isso também vem da solução particular. Aí é só ir montando a matriz como trazido no exemplo genérico. Para montá-la, precisaremos derivar os termos y 1 ,   y 2 ,   y 3 .

Mas como saber em qual ordem de derivada vou parar?

Como aqui temos n=3

n - 1 = 3 - 1 = 2     ( V a m o s   p a r a r   n a   s e g u n d a   d e r i v a d a )  

Logo vocês precisaram fazer a primeira derivada de cada y na linha (2), e a segunda derivada de cada y , na linha (3). Ah!! E a única igualdade que será diferente de zero será a da última linha, que por sua vez, será igualada ao que tem na sua solução particular, que nesse caso é tan ⁡ t .

Matou?!! Isso que quer dizer aquelas n equações algébricas genéricas!

Passo 4

Vamos agora montar um sistema com a equação (2) e (3):

- u 2 ' sen ⁡ t + u 3 ' cos ⁡ t = 0     ( 4 ) - u 2 ' cos ⁡ t - u 3 ' sen ⁡ t = tan ⁡ t     ( 5 )

Da equação (4) isolando u 3 ' ,   t e r e m o s :

u 3 ' = u 2 ' sen ⁡ t cos ⁡ t     ( 6 )

Substituindo (6) em (5):

- u 2 ' cos ⁡ t - u 2 ' sen 2 ⁡ t cos ⁡ t = tan ⁡ t

- u 2 ' cos 2 ⁡ t - u 2 ' sen 2 ⁡ t cos ⁡ t = sen ⁡ t cos ⁡ t

- u 2 ' cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = sen ⁡ t

C o m o   ( cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ) = 1 ,   t e r e m o s :

u 2 ' =   - sen ⁡ t     ( 7 )

Substituindo (7) em (6) obteremos:

u 3 ' =   - sen 2 ⁡ t cos ⁡ t     ( 8 )

Substituindo (7) e (8) em (1):

u 1 ' - sen ⁡ t cos ⁡ t - sen 3 ⁡ t cos ⁡ t = 0

u 1 ' cos ⁡ t - sen ⁡ t cos 2 ⁡ t - sen 3 ⁡ t cos ⁡ t = 0

u 1 ' cos ⁡ t = sen ⁡ t cos 2 ⁡ t + sen 3 ⁡ t

u 1 ' cos ⁡ t = sen ⁡ t ( cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t )

C o m o   ( cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ) = 1 ,   t e r e m o s :

u 1 ' = sen ⁡ t cos ⁡ t = tan ⁡ t

Passo 5

Vamos agora resolver as integrais de u 1 ' ,   u 2 '   e   u 3 ' do passo anterior, encontrando assim: u 1 ,   u 2 e   u 3 .

u 1 = ∫ tan ⁡ t d t = - ln ⁡ cos ⁡ t

u 2 = - ∫ sen ⁡ t d t = cos ⁡ t

u 3 = - ∫ sen 2 ⁡ t cos ⁡ t   d t =   sen ⁡ t - ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t

Passo 6

Chegamos ao último passo! Agora podemos escrever a nossa solução particular, trocando u 1 ,   u 2   e   u 3 , pelos respectivos valores encontrados no passo anterior. Assim teremos:

Y p =   - ln ⁡ cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t - sen ⁡ t ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t

C o m o   ( cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ) = 1 :

Y p =   - ln ⁡ cos ⁡ t + 1 - sen ⁡ t ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t

Portanto agora temos os dados necessários, para escrever a solução geral da equação diferencial que nos foi pedida. Esta será dada pela soma da homogênea associada com a solução particular encontrada. Dessa forma, teremos:

y t =   C 1 + C 2 cos ⁡ t + C 3 sen ⁡ t   - ln ⁡ cos ⁡ t - sen ⁡ t ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t

Note que a constante 1 da solução particular não apareceu na solução geral, porque ela já era solução da equação homogênea associada (Constante C 1 ).

Resposta

y t =   C 1 + C 2 cos ⁡ t + C 3 sen ⁡ t   - ln ⁡ cos ⁡ t - sen ⁡ t ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t

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