Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 18:

(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.

(b) Encontre a série de Fourier da função dada.

f x = 1 ,   - L ≤ x < 0 , 0 ,     0 ≤ x < 1 ;                             f x + 2 L = f ( x )

Passo 1

(a) O gráfico pode ser dado por um CAS (caso do Geogebra, Desmos, Symbolab).

O gráfico esboçado é dado por:

Passo 2

Esta função é periódica com o período 2 L .

Portanto, neste caso ,   L da fórmula (1) na página 597 e   L do problema são os mesmos, e a série de Fourier tem a forma:

f x = a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ a m cos ⁡ m π x L + b m sen ⁡ m π x L

Onde os coeficientes são calculados a partir da fórmula (13) e (14) na página 600

Passo 3

Quando m = 0 , nós teremos:

a 0 = 1 L ∫ - L 0 1 d x = 1

Quando m > 0 , nós teremos:

a m = 1 L ∫ - L 0 cos ⁡ m π x L d x

a m = 1 L L m π sin ⁡ m π x L - L 0

= 0

A parte b da função será:

b m = 1 L ∫ - L 0 sin ⁡ m π x L d x = 1

Nós teremos:

b m = 1 L - L m π cos ⁡ m π x L - L 0

= - 1 m π ( 1 - cos ⁡ m π )

Então, nossas condições serão:

= - 2 m   ,   m   í m p a r   0   ,   m   p a r

Finalmente, substituímos os coeficientes pela fórmula e obtemos:

f x = 1 2 - 2 π ∑ m   é   í m p a r sin ⁡ m π x L m

Se m = 2 n - 1 :

f x = 1 2 - 2 π ∑ n = 1 sin ⁡ ( 2 n - 1 ) π x L ( 2 n - 1 )

Resposta

f x = 1 2 - 2 π ∑ n = 1 sin ⁡ ( 2 n - 1 ) π x L ( 2 n - 1 )

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