Enunciado

f x = 0 , - 3 ≤ x < 0 , x 2 ( 3 - x ) , 0 ≤ x < 3  

f x + 6 = f ( x )

(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.

(b) Encontre a série de Fourier para a equação dada.

(c) Faça o gráfico da soma parcial s m ( x ) em função de x para m = 5, 10 e 20.

(d) Descreva como a série de Fourier parece estar convergindo.

Passo 1

O item (a) nos pede para desenhar o gráfico da função. A nossa função é y = 0 para o intervalo - 3 ≤ x < 0 e y = x 2 ( 3 - x ) para 0 ≤ x < 3 . O que vamos fazer é esboçar a função para este período e estendê-la para um perído anterior e para o perído seguinte. Ficamos então com algo da forma:

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para encontrar a série de Fourier para a função f ( x ) . A série de Fourier é uma equação da forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 m a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

Precisamos então obter os termos a 0 ,   a n ,   b n e L . O intervalo de uma função escrita como série de Fourier é definido como - L ≤ x < L . Então, para a nossa função L = 3 . Tudo bem?

O próximo passo é o cálculo dos coeficientes. O coeficiente a 0 é definido por:

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

a 0 = 1 3 ∫ - 3 0 0 d x + ∫ 0 3 x 2 ( 3 - x ) d x

a 0 = 1 3 ∫ 0 3 x 2 ( 3 - x ) d x

a 0 = 1 3 x 3 0 3 - x 4 4 0 3

a 0 = 1 3 27 - 0 - 81 4 + 0 = 9 - 27 4 = 9 4

Agora vamos determinar a n :

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

a n = 1 3 ∫ - 3 0 0 cos ⁡ n π x 2 d x + ∫ 0 3 x 2 ( 3 - x ) cos ⁡ n π x 3 d x

a n = 1 3 ∫ 0 3 x 2 ( 3 - x ) cos ⁡ n π x 3 d x

a n = 1 3 ( ∫ 0 3 ( 3 x 2 - x 3 ) cos ⁡ n π x 3 d x

a n = 1 3 9 n π x 2 sen ⁡ n π x 3 0 3 - 18 n π ∫ 0 3 x sen ⁡ n π x 3 d x - 3 n π x 3 sen ⁡ n π x 3 0 3 + 9 n π ∫ 0 3 x 2 sen ⁡ n π x 3 d x

a n = 1 3 9 n π ( 9 sen ⁡ n π - 0 ) - 18 n π - 3 n π x cos ⁡ n π x 3 0 3 + 3 n π ∫ 0 3 cos ⁡ n π x 3 d x - 3 n π 27 sen ⁡ n π - 0 + 9 n π - 3 n π x 2 cos ⁡ n π x 3 0 3 + 6 n π ∫ 0 3 x cos ⁡ n π x 3 d x

a n = 1 3 - 18 n π - 3 n π ( 3 cos ⁡ n π - 0 ) + 9 n π 2 sen ⁡ n π x 3 0 3 + 9 n π - 3 n π ( 9 cos ⁡ n π - 0 ) + 6 n π 3 n π x sen ⁡ n π x 3 0 3 - 3 n π ∫ 0 3 sen ⁡ n π x 3 d x

a n = 1 3 - 18 n π - 9 cos ⁡ n π n π + 9 n π 2 ( sen ⁡ n π - 0 ) + 9 n π - 27 cos ⁡ n π n π + 6 n π 3 n π 3 sen ⁡ n π - 0 + 9 n π 2 cos ⁡ n π x 3 0 3

a n = 1 3 162 cos ⁡ n π n π 2 - 243 cos ⁡ n π n π 2 + 54 n π 2 9 n π 2 cos ⁡ n π - 1

a n = 54 cos ⁡ n π n π 2 - 81 cos ⁡ n π n π 2 + 18 n π 2 9 n π 2 cos ⁡ n π - 1

a n = - 27 cos ⁡ n π n π 2 + 162 n π 4 ( cos ⁡ n π - 1 )

Por fim, vamos calcular b n :

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

b n = 1 3 ∫ - 3 0 0 sen ⁡ n π x 2 d x + ∫ 0 3 ( 3 x 2 - x 3 ) sen ⁡ n π x 3 d x

b n = 1 3 ∫ 0 3 ( 3 x 2 - x 3 ) sen ⁡ n π x 3 d x

b n = 1 3 - 9 n π x 2 cos ⁡ n π x 3 0 3 + 18 n π ∫ 0 3 x cos ⁡ n π x 3 d x + 3 n π x 3 cos ⁡ n π x 3 0 3 - 9 n π ∫ 0 3 x 2 cos ⁡ n π x 3 d x

b n = 1 3 - 9 n π ( 9 cos ⁡ n π - 0 ) + 18 n π 3 n π x sen ⁡ n π x 3 0 3 - 3 n π ∫ 0 3 sen ⁡ n π x 3 d x + 3 n π ( 27 cos ⁡ n π - 0 ) - 9 n π 3 n π x 2 sen ⁡ n π x 3 0 3 - 6 n π ∫ 0 3 x sen ⁡ n π x 3 d x

b n = 1 3 - 81 cos ⁡ n π n π + 18 n π 3 n π 3 sen ⁡ n π - 0 + 9 n π 2 cos ⁡ n π x 3 0 3 + 81 cos ⁡ n π n π - 9 n π 3 n π ( 9 sen ⁡ n π - 0 ) - 6 n π - 3 n π x cos ⁡ n π x 3 0 3 + 3 n π ∫ 0 3 cos ⁡ n π x 3 d x

b n = 1 3 18 n π 9 n π 2 cos ⁡ n π - 1 - 9 n π - 6 n π - 3 n π 3 cos ⁡ n π - 0 + 3 n π sen ⁡ n π x L 0 3

b n = 1 3 162 n π 3 cos ⁡ n π - 1 - - 54 n π 2 - 9 cos ⁡ n π n π + 3 n π ( sen ⁡ n π - 0 )

b n = 1 3 162 n π 3 cos ⁡ n π - 1 - 486 cos ⁡ n π n π 3

b n = - 108 n π 3 cos ⁡ n π - 54 n π 3

Aplicando na função:

f x = 9 8 + ∑ n = 1 m - 27 cos ⁡ n π n π 2 + 162 n π 4 cos ⁡ n π - 1 cos ⁡ n π x 3 - 108 n π 3 cos ⁡ n π + 54 n π 3 sen ⁡ n π x 3

Como cos ⁡ n π só possui valor 1 para n par e - 1 para n ímpar vamos reescrevê-lo como:

cos ⁡ n π = - 1 n

Então

f x = 9 8 + ∑ n = 1 m 162 - 1 n - 1 n π 4 - 27 - 1 n n π 2 cos ⁡ n π x 3 - ∑ n = 1 m 108 - 1 n + 54 n π 3 sen ⁡ n π x 3

Passo 3

Vamos agora para o item (c). Ele nos pede para montar os gráficos de s m ( x ) para 5, 10 e 20 termos. Com o auxílio de Excel podemos montar o somatório para m = 5 , 10 e 20. A seguir são mostrados os gráficos das somas e da função:

Vamos agora responder o item (d). A partir da análise do gráfico podemos ver que a série de Fourier converge para a função f ( x ) . Alternativamente podemos verificar que os módulos de a n e b n decrescem com o aumento de n :

Como isso acontece, o esperado é que para n → ∞ , a n , b n → 0 , e por isso, para um n suficientemente grande, o valor do somatório deve convergir para um valor único.

Resposta

(a)

(b) f x = 9 8 + ∑ n = 1 m 162 - 1 n - 1 n π 4 - 27 - 1 n n π 2 cos ⁡ n π x 3 - ∑ n = 1 m 108 - 1 n + 54 n π 3 sen ⁡ n π x 3

(c)

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Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental. f x = 0 , 2 n - 1 ≤ x2 n 1 , 2 n ≤ x2 n + 1n = 0 , ± 1 , ± 2 …
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental. co s ⁡ 2 π x
Se f x = - x para - LxL e se f x+2 L = f ( x ) , encontre uma fórmula para f ( x ) no intervalo Lx2 L e no intervalo- 3 Lx- 2 L .